LA CAÍDA DE LOS GRAVES

La hipótesis genial sobre la cual Galileo apoya su teoría de la caída de los cuerpos es que dicha caída tiende a producirse con aceleración constante. “Un cuerpo grave –dice Salviati en la tercera jornada de las Nuevas Ciencias – posee por naturaleza la propiedad intrínseca de dirigirse hacia el centro común de gravedad, o sea, hacia el centro de nuestro globo terrestre, con movimiento constante y uniformemente acelerado; es decir, que en tiempos iguales se hacen adiciones iguales de nuevos incrementos de velocidad. Es cierto que esta aceleración uniforme –agrega- puede modificarse por la resistencia del medio, que el cuerpo tiene que hender y desplazar hacia los lados para abrirse paso en su caída”. Sin embargo, “el ver que la resistencia del aire al poco peso de un globo es enorme, mientras que al gran peso del plomo es pequeñísima, me hace tener por seguro que, si el aire desapareciese del todo, ofreciendo así inmensas facilidades al avance del globo y muy pocas al del plomo, las velocidades respectivas llegarían  a igualarse”¹. Con base en lo anterior, Galileo empieza a estudiar el movimiento naturalmente acelerado, como ocurriría en el vacío. Para eso establece una serie de teoremas, de los cuales recordamos los que más nos interesan².

Teorema I. El tiempo en que un móvil partiendo del reposo recorre cierto espacio con movimiento uniformemente acelerado es igual al tiempo que requeriría para recorrer el mismo espacio con movimiento uniforme, pero con velocidad mitad de la que adquiere al final de dicho movimiento acelerado. En síntesis, la demostración que Galileo da a este teorema es la siguiente. Sea AB el tiempo de recorrido: A el instante inicial, B el final y BE la velocidad final (fig. 19). Como la velocidad crece linealmente con el tiempo, las velocidades en los diferentes instantes se medirán por los segmentos llevados paralelamente a EB, empezando en la recta AB y terminando en la recta AE. Siendo la velocidad el espacio recorrido en la unidad de tiempo, el área del pequeño trapecio CMND medirá el espacio recorrido por el móvil en el tempúsculo CD; y el área del triangulo AEB medirá el espacio total recorrido. Tomemos ahora el punto medio F del segmento EB, y tracemos el rectángulo ABFG. Los segmentos AG, CH, DK paralelos a FB representan velocidades instantáneas de un movimiento uniforme con velocidad final EB alcanzada con movimiento acelerado; por tanto, el área del rectángulo ABFG representará el espacio total recorrido con movimiento uniforme. Pero la igualdad de los triángulos AIG y EIF, las áreas del triangulo ABE y del rectángulo ABFG son iguales, resultando también iguales los espacios recorridos en el tiempo AB en los dos movimientos, acelerado y uniforme.

Teorema II. Si un móvil partiendo del reposo avanza con movimiento uniformemente acelerado, los espacios recorridos por él en tiempos cualesquiera son proporcionales a los cuadrados de dichos tiempos. En efecto sea CH la velocidad final alcanzada en el tiempo AC; BE, la alcanzada en el tiempo AB (fig. 20). Los espacios recorridos en los tiempos mencionados se medirán por las áreas de los triángulos ACH, ABE, respectivamente. Pero, siendo dichos triángulos semejantes, sus áreas serán entre sí como los cuadrados de las alturas AC, AB; o sea, que los espacios serán entre sí como los cuadrados de los tiempos, según se quería demostrar.

Puesto que las diferencias de los cuadrados sucesivos son iguales a los subsiguientes números nones: 1 - 0 = 1, 4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5, etc., del teorema II se infiere como corolario que los espacios recorridos en tiempos iguales, tomados sucesivamente desde el comienzo del movimiento uniformemente acelerado, serán entre sí como los números nones 1, 3, 5, 7, …³

Refiriéndose ahora a la caída natural de los graves (movimiento naturalmente acelerado), Galileo pasa a considerar la caída sobre planos inclinados. Comienza con el

Teorema III. Si un mismo móvil, a partir del reposo, baja sobre un plano inclinado y sobre otro vertical que cubran el mismo desnivel, los tiempos  totales de descenso son proporcionales a las longitudes de los planos respectivos. En efecto, sean (fig. 21) AB el plano vertical, AC el inclinado. Siendo la misma la aceleración del móvil en dos puntos que estén al mismo nivel, como E y F, la velocidad alcanzada en dichos puntos será la misma; y en particular serán iguales las velocidades finales en B y C. Ahora, por el teorema I, los espacios AB, AC son los mismos que se cubrirán si el móvil avanzara durante el tiempo total de descenso con velocidad uniforme que sea mitad de la velocidad final. Pero, en movimiento uniforme, el tiempo es proporcional al espacio recorrido; de donde se deriva lo enunciado.

Teorema IV. Los tiempos de descenso sobre planos de igual longitud, pero de diferente inclinación, están en proporción inversa a las raíces cuadradas de los desniveles cubiertos por dichos planos. En efecto (fig. 22) sean BA y BC las longitudes, iguales entre sí, de los dos planos inclinados. Por el teorema III, los tiempos de descenso sobre BA y BE (proyección vertical de BA) están entre sí como BA:BE; los tiempos de descenso sobre BC y BD están entre sí como BC:BD=BA:BD. Indicando con t(BA) el tiempo requerido para recorrer BA y análogamente los demás, lo anterior puede escribirse

 ,

y, dividiendo miembro a miembro.

Pero, por el teorema II, ; y esto, remplazado en la igualdad anterior, da .

Teorema V. Los tiempos de descenso sobre planos de diferente inclinación y longitud son directamente proporcionales a las longitudes de los planos e inversamente a las raíces cuadradas de sus desniveles. Este teorema es consecuencia inmediata de los teoremas anteriores.

Teorema VI. Si en una circunferencia vertical se trazan cuerdas con extremo en el punto más alto (o el más bajo) de la circunferencia misma, los tiempos de descenso por dichas cuerdas son todos iguales entre sí. En efecto, sean AB el diámetro y AC una cuerda trazados por el punto más alto A de la circunferencia vertical ACB (fig. 23). Trazada por C la perpendicular CD al diámetro AB, resulta por semejanza de los triángulos ABC y CAD que AB:AC=AC:AD, de donde se obtiene que

y luego

por el teorema III y la igualdad anterior, se tiene

                                                               (1)

y por el teorema II

relación que, comparada con la fórmula 1, permite concluir que t(AC)=t(AB). En otros términos, el tiempo de descenso por la cuerda AC es igual al tiempo de caída vertical de A a B; y el mismo será el tiempo de descenso por otra cuerda AE cualquiera. De donde resulta que t(AC)=t(AE), como afirma el teorema. Un razonamiento análogo llevaría a comprobar que también t(CB)=t(EB).

Todo lo anterior parece fuera de discusión; pero no era así para los contemporáneos de Galileo, quienes lo veían como una novedad absoluta. Dejemos a los peripatéticos, adversarios empedernidos, y veamos las objeciones de Descartes que, en esa carta a Mersenne de octubre de 1683 a la cual ya hicimos referencia {ver La fuerza del vacío}, acusa a Galileo de haber construido sin fundamento por no proceder con orden: “Sin haber considerado las causas primeras de la naturaleza, solo ha buscado las razones de algunos efectos particulares”⁴. Concretamente, según Descartes, Galileo hubiera tenido que determinar primero lo que es la pesantez. Esto revela una actitud diametralmente opuesta en los dos investigadores. Galileo escribe: “No me parece esta la ocasión para entrar ahora a investigar la causa de la aceleración del movimiento  natural, en torno a la cual los filósofos han emitido diversas opiniones… Sería interesante, aunque de poca utilidad, ir examinando todas estas fantasías. A nuestro autor le basta con que comprendamos que él quiere investigar y demostrar algunas propiedades de un movimiento acelerado, cualquiera que sea su causa…; y si nos encontramos con que las propiedades que serán demostradas luego se verifican en el movimiento de los graves naturalmente descendientes”, podremos concluir que tal movimiento es un caso particular de movimiento acelerado⁵. Actitud que nos parece absolutamente “moderna”, por el sencillo motivo de que nosotros seguimos considerando como método científico al de Galileo. Descartes por el contrario, con su actitud racionalista, se habría detenido en descubrir qué es la pesantez; y allí se hubiera quedado, porque esta cuestión, supuesto que tenga sentido, no ha sido aún resuelta.

La frase completa de Descartes es la siguiente: “Todo lo que él (Galileo) dice acerca de la velocidad de los cuerpos que descienden en el vacío, etc., esta edificado sin cimientos, por que él habría tenido que determinar antes lo que es pesantez, y si él supiese la verdad, sabría que en el vacío aquella es nula”. Y más adelante le reprocha que no demuestre, “y no es exactamente verdadero”, que las velocidades alcanzadas a un mismo nivel –como en los puntos E y F de la fig. 21- por un móvil que baja sobre dos planos diferentemente inclinados sean las mismas. “Y como todo lo que sigue no depende sino de estas dos suposiciones –concluye Descartes- se puede afirmar que él ha construido totalmente en el aire”. Aun siendo Descartes 32 años más joven que Galileo, su perspectiva es más anticuada. Mientras que en Galileo brilla con toda gallardía la claridad del Renacimiento, en el pensamiento cartesiano se manifiesta todavía una indeterminación entre lo que es la ciencia y lo que es metafísica, clara herencia de la Edad Media.