DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TORRICELLI

Entre Torricelli y los franceses habían surgido algunos malentendidos. No solo porque con el barómetro Pascal había adquirido mucho más fama que Toricelli mismo; sino también por el célebre pleito de la cicloide. Se llama cicloide la curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta, sin perder contacto con ella y sin deslizarse. Según los italianos, dicha curva había sido inventada en 1599 por Galileo, que hubiera deseado utilizarla para trazar el perfil del arco único de un nuevo puente que debía cruzar el río Arno en Pisa; para los franceses la cicloide, que ellos llamaban trocoide, la había concebido Mersenne en 1615. Galileo sospechaba, pero ni él ni Cavalieri habían podido comprobar, que el área comprendida entre la cicloide y su recta base era el triple del área del círculo generador.

Torricelli, sin disponer todavía de la comodidad del cálculo integral tal como hoy lo conocemos, había logrado demostrar teóricamente esta propiedad de una manera sumamente sencilla; sin embargo en Francia se aseguraba que dicha cuadratura la había obtenido primero Roberval. Los italianos sospechaban de Mersenne, que conocía los resultados de Torricelli; debía de ser él quien había comunicado, sin ninguna precaución, a sus colegas lo que Torricelli le había participado confidencialmente, facilitando la apropiación. La sospecha había indignado a Roberval; y de hecho hubo un violento intercambio de acusaciones mutuas al respecto entre Torricelli y Roberval²¹.

A residuos de esa tensión se debe tal vez la rudeza con que, allá por 1695, Pierre Varignon criticaba a Torricelli frente a la Academia de Ciencias de París, acusándolo de falta de rigor en la comprobación de su teorema hidráulico fundamental. “La demostración que dio Torricelli –escribía Varignon- depende de la experiencia, que ha permitido observar que los chorros de agua alcanzan poco más o menos la misma altura de la cual han bajado. Pero no siendo esta sino una experiencia, que por tanto no habla sino a los sentidos y no basta  para una demostración geométrica, el mismo Torricelli le hace tan poco caso a la comprobación obtenida, que la abandona de buena fe a la discreción del lector… Esta falta de confianza de Torricelli en su propia demostración nos ofrece la oportunidad de observar de paso que los experimentos, en cuanto hacen depender  demasiado fácilmente los hechos de los sentidos, en la física auténtica no tienen que servir sino para hacer presumir una verdad; no para remplazar una demostración exacta y geométrica”²².

Luego Varignon expone su propia demostración del hecho de que las velocidades del agua que sale de un orificio están entre sí como las raíces cuadradas de las alturas (o tirantes) de agua sobre el orificio mismo. La demostración consiste esencialmente en lo siguiente (fig. 30). Se sabe que los “esfuerzos” (presiones) producidos por las dos masas de agua AF y CF están entre sí como las alturas AK, CH. Llamaos f₁, f₂ dichos esfuerzos, será

f₁:f₂ = AK : CH           (1)

Por otra parte, las “masas” m₁, m₂ correspondientes que salen del orificio G en un tiempo determinado están entre sí como las velocidades v₁, v₂ de la salida relativas, m₁:m₂ = v₁:v₂; de donde m₁v₂ = m₂v₁, y multiplicando por v₁v₂,

m₁v₁v₂² = m₂v₂v₁²

de donde

m₁v₁ : m₂ v₂ = v₁² : v₂²         (2)

Así mismo, el principio de cantidad de movimiento expresa que

m₁v₁ : m₂ v₂ = f₁ : f₂

De aquí, utilizando las proporciones 1 y 2, resulta que

v₁² : v₂² = AK : CH

que es lo que se quería demostrar²³. Naturalmente, el argumento lleva implícito admitir que el movimiento que la presencia de desagüe provoca en el agua contenida en el depósito es sumamente pequeño y sensiblemente uniforme para todas sus partículas, no produciéndose ninguna aceleración; hipótesis prácticamente válida si se supone la sección del depósito muy grande en comparación con la del orificio.

Varignon no era un investigador muy notable, pero sí un maestro de primera. La gran novedad de sus clases de mecánica era la utilización de fórmulas algebraicas en las demostraciones. Vale la pena reproducir aquí unas consideraciones del abad Pujol, el alumno que reunió los apuntes de clase de Varignon y los publicó en 1725, tres años después de la muerte del autor, bajo el título Traite du mouvement et de la mesure des eaux coulantes et jaillissantes (Tratado del movimiento y de la medición de las aguas que escuren y brotan): “Sabios persuadidos de la utilidad de esta materia se dedicaron a explicarla. Pero algunos se contentaban con relatar la experiencias sin dar demostraciones; otros, queriendo comprobar principios tan necesarios, lo hacían por pura geometría; y habiéndose dificultado y complicado enormemente sus demostraciones por el gran número de líneas requeridas por la imaginación, se distraía demasiado la atención, exponiéndola a perder de vista el objeto esencial de la investigación. Además, como la geometría no suministra comprobaciones totalmente generales, se veían en consecuencia forzados a buscar casi tantas nuevas demostraciones cuantos eran los casos particulares considerados. Es para evitar tales inconvenientes que en casi todas las demostraciones del presente tratado se ha utilizado el cálculo algebraico; lo cual se ha hecho porque este procedimiento saca grandes ventajas  con respecto al otro. En efecto, las demostraciones algebraicas son incomparablemente más fáciles, no requieren gran concentración y a veces no se necesitan sino dos o tres rasgos de pluma para volverlas a obtener. Además el álgebra proporciona comprobaciones generales, de las cuales se deducen fácilmente por medio de corolarios todos los casos particulares que, de utilizarse la geometría, requerirá a su vez nuevas demostraciones, por tanto nuevas líneas y figuras. Esta ventaja del álgebra sobre la geometría es tan considerable que, como se verá, todo el contenido de este tratado se ha deducido de una o dos proposiciones solamente”²⁴. Y ¿cuáles son estas proposiciones básicas? Son que, si el cuerpo se halla en movimiento uniforme, los productos vt/l, ft/m₁ y mv/f se mantienen constantes durante todo el trayecto, siendo f la fuerza aplicada al cuerpo, m su masa, v su velocidad, l el espacio recorrido y t el tiempo empleado en recorrerlo. Cómo Varignon utiliza la última proposición lo hemos visto en la demostración anterior.

Efectivamente, el tratado de Varignon tuvo gran éxito y debió ser adoptado como texto de enseñanza durante muchas décadas. “El libro –escribía en 1793 Ludovico Riva, profesor de astronomía en el Estudio de Padua, refiriéndose a la traducción italiana en 1736- … gracias a su presentación elemental lo buscan y estudian muchos jóvenes, atraídos por la importancia de la materia y celebridad del autor”²⁵. Pero, ¿era inobjetable la demostración del principio de Torricelli que Varignon había dado? Alrededor del año 1780, al redactar su Mecánique analytique que se publicó luego en 1788, Lagrange opinaba que tal demostración “contiene todavía algo vago, porque supone tácitamente que la pequeña masa que sale a cada instante del vaso adquiere bruscamente su velocidad total por la presión de la columna de agua que está encima. Ahora, se sabe que una presión no puede crear de repente una velocidad finita. Pero suponiendo, como es natural, que el peso de la columna actúe sobre la partícula durante todo el tiempo que ella invierte en salir del vaso, resulta claro que la partícula adquirirá un movimiento acelerado, siendo la correspondiente cantidad de movimiento, al final de cualquier intervalo de tiempo, proporcional al producto de la presión por el tiempo. Por tanto, el producto del peso de la columna por el tiempo de salida de la partícula será igual al producto de la masa de dicha partícula por la velocidad que ella habría adquirido; y como la masa es el producto del área del orificio por el pequeño espacio que la partícula recorre al salir del depósito (espacio que, por característica de los movimientos uniformemente acelerados, es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo), se sigue que la altura de la columna volverá a resultar proporcional al cuadrado de la velocidad adquirida. Esta conclusión es ahora rigorosa, siempre que se admita que cada partícula al dejar el depósito, sea empujada por todo el peso de la columna fluida que tiene como base a dicha partícula, lo que se verificaría efectivamente si el fluido contenido en el depósito estuviera estancado”²⁶. De hecho, la fórmula mv/f=constante adoptada por Varignon era incorrecta, y con toda razón Lagrange proponía cambiarla por la otra, mv/ft=constante.

  

Imagen obtenida de: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Varignon.html