EL PROBLEMA DEL ARTILLERO

Menos de ocho años antes de que Cortés pusiera pie en México, en octubre de 1511, el papa Julio II –un anciano de largas barbas que se complacía en cabalgar a la cabeza de sus huestes- construyó, aliándose con Fernando el Católico y la República de Venecia, la Santa Liga con el objeto de expulsar de Italia a los franceses, momentáneamente dueños del ducado de Milán. Esta coalición efímera (si pensamos que en 1508 Francia y España luchaban juntos en contra de Venecia y que en 1513 franceses y venecianos serían cordiales aliados) llevó, sin embargo, a una blitzkrieg, cuya principal víctima fue naturalmente la población civil.

Penetradas en territorio véneto, el 19 de febrero de 1512 las tropas francesas al mando de Gastón de Foix irrumpieron en la tranquila ciudad de Brescia –la misma que 65 años después vería nacer al Padre Castelli- lanzándose a un saqueo desenfrenado. La gente corrió a encerrarse en la catedral; pero la soldadesca, tumbadas las puertas, penetro en ella. Entre las atrocidades que siguieron, se vio a un soldado agarrar a un vivaz niño de doce años, golpeándolo bárbaramente en la cabeza⁶. Curado tiernamente por su madre, el niño, Niccoló Fontana, pudo sobrevivir; sin embargo quedó un marcado defecto en su habla, por lo que fue apodado “il Tartaglia”, el Tartamudo. Se le conoció como Niccoló Tartaglia, con ese nombre firmó sus numerosas publicaciones.

Porque el muchacho, dotado de una inteligencia extraordinaria, se dedicó con todo éxito al estudio de las matemáticas; y lo hizo por su cuenta, porque la familia era pobre y no podía costearse sus estudios. Puesto que entonces, como ahora, las universidades no aceptaban entre sus académicos a quienes no hubiesen sido adoctrinados en escuelas superiores, Tartaglia se contentó con abrir su despacho de matemático, primero en Verona y luego en Venecia, donde consiguió una numerosa clientela. Primer algebrista del siglo, poseedor de enorme habilidad para realizar cálculos y resolver problemas difíciles y enredados cuya solución frecuentemente expresaba en versos, Tartaglia alcanzó una enorme celebridad, tanta que, para el pueblo, el Tartaglia llegó a personificar al matemático por excelencia, al Arquímedes, al Einstein de la época. Sus agradables facciones, su cara redonda, tranquila y afable, nos ha sido conservada en un retrato que aparece en la portada de su General trattato di númeri e misure.

En otra, la del libro Nova scienzia de 1537, dentro de un recinto cuya puerta está vigilada por Euclides, se ve a Tartaglia encabezando un numeroso grupo de figuras femeninas que representan todas las disciplinas de las matemáticas de entonces, ya sean puras o aplicadas, especificadas por sendos letreros.

Ahora bien, en 1531 llegó a consultar a Tartaglia un artillero, quien sabía por experiencia que los proyectiles no siguen una trayectoria rectilínea, como se acostumbra suponer entonces al apuntar el cañón, y le preguntó cómo debía inclinarse la pieza si se quería que la bala alcanzara la máxima distancia posible. Tartaglia estudió largamente el problema y publicó los resultados en Nova scienzia, cuya portada, además del autor y las damas antes mencionadas, muestra un cañón disparando y dos trayectorias, una horizontal rectilínea y otra oblicua y curva, de la bala. Como haría Galileo un siglo después, el autor empieza por tratar la caída natural de los graves, estableciendo que “en el movimiento natural todo cuerpo –a paridad de peso- va tanto más de prisa cuanto más se aleja del punto de partida, o cuanto más se acerca al de llegada de su movimiento”⁷. Pasa luego al estudio del “movimiento violento” o forzado, que según él sería, contrariamente al anterior, desacelerado: “un cuerpo –a paridad de peso– va tanto más lentamente cuando más se aleja del principio, o cuanto más se acerca al final del movimiento violento”. Pero, como todos los cuerpos “igualmente graves, semejantes e iguales” deberían alcanzar al final de su trayecto la misma velocidad, cualquiera que haya sido la que se les imprimió inicialmente, resultaría que “cuanto mayor es el espacio que el proyectil tiene que recorrer, tanto más de prisa irá al principio de su movimiento”⁸.

Tartaglia estudia luego las trayectorias, que considera constituidas por un tramo recto inicial, orientado como el eje del cañón, seguido por un tramo cóncavo y finalmente por un tramo rectilíneo vertical; y con un razonamiento algo tosco obtiene un resultado correcto: que la inclinación sobre el horizonte de la pieza que produce el máximo alcance es de 45º. Sin embargo, para determinar la forma real de las trayectorias utiliza una concepción falsa, o sea que “ningún cuerpo… puede durante ningún espacio de tiempo o de lugar avanzar con un movimiento compuesto de uno violento y uno natural”, por que si así lo hiciera, debería por ser el movimiento natural aumentar continuamente su velocidad, y por ser violento disminuirla incesantemente, posturas mutuamente incompatibles.

En la cuarta jornada de las Dos nuevas ciencias, Galileo, que conocía bien las obras de Tartaglia, vuelve a plantear el mismo problema, pero aceptando la hipótesis que este había descartado con demasiada prisa, o sea, que el movimiento del proyectil se compone de uno uniforme y otro acelerado. Semejante composición, “suponiendo –dice Sagredo- que el movimiento transversal se mantenga siempre uniforme y que análogamente el natural hacia abajo permanezca con su característica de ir siempre acelerándose en proporción con los cuadrados de los tiempos, y que tales movimientos y sus respectivas velocidades, al mezclarse, no se alteren, perturben o impidan”¹⁰, era por lo visto una novedad absoluta y fue la clave del éxito de Galileo allí donde sus predecesores habían fracasado. Ahora bien, la hipótesis de que en el movimiento  horizontal los espacios recorridos son proporcionales a los tiempos y en el vertical proporcionales a los cuadrados de los tiempos mismos, lleva inmediatamente a concluir que la trayectoria resultante es parabólica. En efecto, utilizando notación algebraica y coordenadas cartesianas (fig. 24) –todo esto desconocido para Galileo–, si llamamos v_o la velocidad impresa inicialmente al proyectil en dirección horizontal, x la “amplitud” del tiro, medida al nivel BH del horizonte, y y la “altura” de la pieza, tenemos

x = v_o t , y = gt²/2

donde g es la aceleración de gravedad.

Eliminando t, resulta la ecuación

y = gx²/2 v_o²                                  (1)

que es justamente la de una parábola con eje vertical y vértice en A.

Prosigue Galileo demostrando una serie de propiedades de tales trayectorias e indicando cómo resolver varios problemas relativos. En particular, tabula en función de la “elevación” (o sea, del ángulo que la tangente HT a la curva formada con la horizontal HB) las alturas y “sumidades” de las diferentes parábolas (entendiéndose por sumidad el desnivel s= EA tal que el móvil, cayendo desde E con movimiento naturalmente acelerado, adquiriría en A una velocidad igual a la velocidad inicial v_o). La sumidad representaría pues una energía de posición virtual, en cuanto que

s = v_o²/2g                                             (2)

Una propiedad importante de la trayectoria parabólica es que la mitad de la amplitud es media proporcional entre la altura y la sumidad. 11 en efecto, remplazando la ecuación 2 en la 1, resulta y = x2/4s, de donde

(x/2)² = ys  ,    o sea,     ytx/2 = x/2:s        (3)

Imágenes obtenidas de: http://es.wikipedia.org/wiki/Tartaglia y http://www.omceoar.it/cgi-bin/docs/cisalpino/Il%20Cesalpino%2016.pdf