INTERVIENE GALILEO

No sabemos quién pago la cena en Montedómini, aunque nos inclinamos a creer que le haya tocado a Niccoló {ver La Rectificación del río Bisenzio}. Lo cierto es que Galileo se vio en esos mismos días metido también directamente en el pleito. En efecto, el 22 le había llegado una comunicación por parte de Raffaello Staccoli, diciendo que el gran duque encomienda a él, Galileo, y a Giulio Parigi, inspeccionar el río Bisenzio; y, en vista de la discrepancia entre las opiniones de Bartolotti y Fantoni, considerar lo más útil y adecuado por hacerse para la protección de esa llanura y de los pueblos que en ella estaban.

Aunque la carta de Staccoli agregaba que ambos asesores serían llevados y traídos de vuelta con toda comodidad por las partes interesadas, o sea por Fantoni y Bartolotti³⁵, Galileo, que prefería su tranquilo estudio en Bellosguardo al trajín de la inspección en el campo, resolvió que mejor sería empezar examinando las propuestas y contrapropuestas de los dos ingenieros. Esencialmente, a la sugerencia de Fantoni de dejar todo como estaba, solo reforzando y perfeccionando los bordos destruidos, Bartolotti replicaba que ese remedio ya sea había adoptado 44 años antes y que, a pesar de eso, se había vuelto a lo mismo: según él, era necesario cortar de una vez los meandros, porque cualquier otra curación no habría sido sino como “aplicar paños calientes”. La rectificación tendría doble ventaja: evitar el remanso en los recodos y aumentar la pendiente del cauce; así, se incrementaría la velocidad de la corriente.

Galileo no oculta su preferencia hacia la posición de Fantoni. Si los arreglos sirvieron durante 44 años –razona él- es porque eran efectivos; si luego el río volvió a desbordar, fue porque el cauce se azolvó, “y como es imposible evitar el arrastre de materiales por parte de la corriente y su depósito, hay que contentarse, y resignarse a tener que remover de vez en cuando el azolve”³⁶. En una carta a Staccoli del 16 de enero de 1631, Galileo plantea sus puntos de vista, pidiendo de antemano disculpa por su originalidad: “Sé que en este mi escrito hay proposiciones que, por tener a primera vista el aspecto de paradójicas e imposibles, mantendrán, y tal vez acrecentarán en el concepto de muchos, el atributo que se me da de cerebro extravagante y deseoso de contradecir hasta las opiniones y doctrinas que suelen provenir de los mismos maestros en Arte; y por esto no se me oculta que mejor sería… callar ese ver che ha faccia de menzogna (verdad que tiene semblante de mentira) que, expresándolo, exponerlo a las réplicas, impugnaciones y a veces hasta a los escarnios de muchos. Sin embargo, mi parecer es distinto del usual también en esto, pues estimó más útil proponer y exponer a refutaciones ideas nuevas que –para salvaguardarme de los contradictores- llenar  hojas con conceptos ya repetidos en mil volúmenes”³⁷.

Galileo considera, como había hecho Niccoló Arrighetti, que el movimiento de la corriente en un canal  es naturalmente acelerado, y le aplica sus teoremas sobre la caída de los graves; así concluye, por el Teorema III, que la corriente recorrerá dos tramos de canal que cubren el mismo desnivel en tiempos proporcionales a las longitudes de los mismos. Alguien podrá concluir –sigue diciendo- que el más corto descarga un gasto mayor que el más largo, pero no es así. Supongamos, por ejemplo, que haya dos conductos en tales condiciones, uno de longitud doble del otro, y que tengamos que descargar por ellos diez mil balas de cañón; si introducimos una bala en el momento en que la anterior sale del conducto, como la bala en su recorrido tarda el doble de tiempo en el conducto largo que en el corto, claro está que el segundo descargará el doble de balas que el primero. Pero la descarga del agua no es así, sino que se produce como si se tuviese una sucesión continua de balas, una en contacto con la otra; y en tal caso, “supuesto, por ejemplo, que en la longitud del canal corto quepa una hilera de cien balas solamente y en la del canal largo doscientas, es cierto que el primero ya habrá descargado cien balas cuando el segundo empieza a descargar la primera, pero al continuar la descarga… se hallará que el canal corto no gana en toda la descarga sino la ventaja de cien sobre las diez mil balas, porque solamente cien quedarán por descargarse en el canal largo una vez terminada la descarga del corto;… y menos sería la ventaja cuando fuese mayor el número de balas por introducirse y descargarse”³⁸.

Bartolotti afirmaba que la velocidad de las aguas de un río depende esencialmente de la pendiente de su cauce; Galileo cree más bien que dicha pendiente no tenga sino una importancia mínima. En primer lugar, porque la conclusión de que, de acuerdo con el Teorema III, el tiempo requerido para recorrer un cauce cuyo largo sea la mitad se reduce a la mitad, vale siempre que se suponga que el móvil –en nuestro caso el agua- empiece su movimiento naturalmente acelerado partiendo del reposo. Pero, en la realidad, el agua ya llega con una velocidad considerable al inicio de la rectificación; y es fácil demostrar que “el espacio que se recorrerá en el canal largo, en el tiempo que se recorre todo el corto, no será solo la mitad de la longitud del corto, sino más y más, a medida que haya sido mayor la velocidad”³⁹.

En segundo lugar, Galileo disiente de Bartolotti en cuanto que está convencido de que la pendiente que puede afectar la velocidad de la corriente no es la del fondo del cauce, sino la de la superficie del agua.

Supongamos en efecto –dice él- que se apoya una esfera metálica sobre el piso de un canal horizontal: la esfera quedará inmóvil; pero, si la esfera es de agua, se aplanará, corriendo hacia los lados, “y si los extremos del canal están abiertos, se saldrá toda, salvo esa mínima capita que queda mojando el fondo del canal. He aquí pues que hasta en un canal sin pendiente, donde los sólidos quedan parados y quietos, los fluidos se mueven. Además la causa del movimiento es muy manifiesta, en cuanto que el agua aplanándose adquiere declive… y ella misma se crea de cierto modo pendiente, sirviendo sus capas inferiores como lecho inclinado para las superiores… Y aquí empieza a evidenciarse como no es la pendiente del lecho o fondo del canal la que regula el movimiento del agua”⁴⁰. Asimismo, puede resultar “una grandísima variación de velocidad, no solamente por un pequeño aumento de pendiente que se le dé al lecho del canal, sino también cuando esta no se incremente por nada y la de la superficie del agua se incremente sumamente poco. Así, si consideramos qué aumento de pendiente puede causar para nuestro río Arno una elevación en nuestra ciudad de ocho o diez codos, que hay que distribuir sobre un largo de 60 millas, que es lo que se extiende su cauce desde aquí hasta la desembocadura, no cabe duda que el aumento de velocidad, en comparación con la que tienen sus aguas cuando están bajas, debería de ser pequeño”. Y aquí Galileo hace un cálculo: supongamos que la caída total de nivel de aquí a la desembocadura sea en estiaje de 100 codos y de 108 durante una avenida; tomando el medio proporcional entre 100 y 108, que es menos de 104, se obtendría para la avenida un incremento de velocidad de menos del 4 por ciento, o sea que si en estiaje el río llega al mar en 50 horas, en crecidas debería tardar más de 48; pero de hecho resulta que tarda menos de ocho. “Luego –continua Galileo_ para descubrir la causa de este gran aumento de velocidad, hay que acudir a otras cosas que no sea el incremento en la caída de nivel, y reconocer que una de las razones poderosas es que, al crecer así el desnivel, aumenta enormemente la masa y el cúmulo del agua que, gravitando y comprimiendo las partes que van adelante con el peso de las subsiguientes, las empuja impetuosamente; cosa que no sucede con los cuerpos sólidos… Ahora, como en la aceleración del flujo de las aguas crecidas poco tiene que ver la mayor pendiente y mucho la gran copia del agua que sobreviene, hay que considerar que, aunque en el canal corto la pendiente sea mayor que en el largo, las aguas inferiores del largo se encuentran tan cargadas por  la mayor abundancia de las aguas superiores que las comprimen y empujan, que este impulso puede compensar abundantemente el beneficio que podría resultar de la mayo pendiente [del canal corto]”⁴¹.

Pasando luego a considerar el comportamiento de la corriente en los recodos, Galileo anota: “Tal vez podría resultar que el agua remansándose se hinchara un tanto sobre la curva; pero esto no disminuirá en lo absoluto su velocidad, porque ese levantamiento le servirá para hacer que su pendiente se haga mayor en el tramo de canal siguiente, donde, con aumentar su velocidad, compensará el retraso sufrido en el inicio de la curva; resultará así un efecto semejante al que diariamente vemos acontecer en los ríos muy crecidos, a saber, que cuando, al pasar por los arcos de los puentes, tienen que contraer sus aguas por chocar con las pilas o impostas de dichos arcos, aquellas, elevándose por el  lado de atrás, adquieren debajo de los arcos una pendiente tal que, escurriendo con suma velocidad sin ninguna pérdida y continuando su curso, no gastan en su viaje ni un instante más que si hubiesen hallado el canal totalmente despejado”⁴².

Entre otras interesantes consideraciones contenidas en la carta a Staccoli, leemos la siguiente: supongamos que un móvil tenga que bajar por su propio peso desde el punto E hasta el punto C (fig. 55), deslizándose sobre un carril conveniente; ¿cuál forma debería de tener este carril para que el recorrido se realice en el menor tiempo posible? “Afirmo –escribe Galileo- que el camino más expedito y que se recorre en menos tiempo no es el recto, aun siendo el más corto, sino que hay curvas, y también combinaciones de líneas rectas, que se recorren con mayor velocidad y en tiempo más breve”³⁷. Comparando, por ejemplo, el carril rectilíneo EC con el quebrado EFC, señala que EF tiene mayor pendiente que EC; por tanto, el móvil, llegando a F, tiene una velocidad mayor que la alcanzada en el carril EC; y como la conserva en el tramo FC, aunque este sea menos inclinado, acaba por llegar más rápidamente al extremo C si sigue el camino quebrado. Un razonamiento análogo lo lleva a concluir que el camino curvo EGFC, es todavía más conveniente, y finaliza: “De lo que acabo de decir, quisiera que los señores ingenieros y peritos saquen una advertencia… acerca del repartimiento de la pendiente en los canales y lechos de los ríos; y es esta: que no hay que distribuirla igualmente en todas partes, sino que conviene irla siempre reduciendo al acercarse al final del curso”⁴³.

El problema arriba mencionado no es otro sino el que en matemáticas se llama de la “braquistocrona”, cuestión cuyo planteamiento, olvidando a Galileo, se suele atribuir a Johann Bernoulli, que lo propuso en las Acta eruditorum de junio de 1696, o sea 65 años después. Constituyó este el primer problema del “cálculo de variaciones”; y de él, determinado (lo que Galileo no había hecho) cuál es efectivamente la forma de carril que permite al móvil llegar en tiempo mínimo, ofrecieron simultáneamente la solución, por caminos distintos, Johann y su hermano Jakob el año siguiente.

Galileo termina su informe recomendando a propósito del Bisenzio: “Yo propendería a no removerlo de su lecho antiguo, sino tan solo a limpiarlo, ensancharlo y, para decirlo de una vez, levantar los bordos donde rebosa y reforzarlos donde azolve. En cuanto a la tortuosidad, si hay alguna demasiado brusca y que se pueda quitar con un corte breve y de poca molestia para los predios adyacentes, yo lo quitaría, aunque la ventaja que podría resultar no sea de mucha consideración”⁴⁴. De hecho, varios cortes, aunque no una rectificación total, se realizarán más tarde en ese río, y esto por obra de Vicenzio Viviani, que al parecer consideró conveniente no seguir demasiado al pie de la letra las recomendaciones de su maestro.

Hay quien reprocha a Galileo que haya tratado el escurrimiento en los ríos y canales pasando totalmente por alto el efecto de la fricción del agua con las paredes del cauce. Pero no es cierto que la desconociese. En apuntes que nos quedan de él, redactados pensando en el problema del Bisenzio, leemos: “Con respecto a las desigualdades del fondo y la velocidad mayor en una parte que en otra, considerarlas cuando el agua está baja importa poco; pero cuando el lecho está lleno –y ese es el tiempo peligroso- dichas desigualdades en buen parte se emparejan y la superficie del agua se vuelve nivelada y uniforme; y la experiencia muestra que hasta los grandes escalones de las represas casi se ocultan”⁴⁵. “Las malezas, irregulares y otros estorbos de las márgenes retardarán el curso de materias sólidas que chocasen con ellos; pero, siendo el agua fluida y constituida por partes no coherentes, ella misma, llenando los huecos de las irregularidades de los márgenes y del fondo, se forjan un cauce tan terso y pulido como si fuese de láminas de plata bien alisadas y más que  bruñidas”⁴⁶. Y finalmente: “Como es manifiesto, los impedimentos reducen el movimiento en mayor proporción en cuanto este sea más veloz; porque si yo quiero desplazar por el agua un sólido rugoso con gran velocidad, la resistencia ocasionada por el agua será tanto mayor cuanto más veloz sea el movimiento. Y noto que las mismas resistencias encuentran una trabe rugosa por efecto de la corriente, que el agua del canal por las rugosidades de la superficie del cauce; por tanto, en el canal más inclinado, el movimiento, debiendo ser más veloz, resulta más refrenado por los márgenes rugosos”⁴⁷.

Conviene visitar la página web:    http://www.sociedadelainformacion.com/fisica/cicloide/plantear.htm ya que se presenta una mayor explicación de la Braquistocrona, con la generación de la cicloide, por medio de una animación y el fundamento teórico de dicha curva, lugar de donde se tomaron las imágenes anteriores.

Imagen obtenida de: http://11.media.tumblr.com/tumblr_ktgg315td41qz5ybao1_400.gif