LA FÓRMULA QUE NO LE GUSTÓ A SU AUTOR

Uno de los estímulos más poderosos, aunque no precisamente de los más validos, que tuvo la hidráulica del siglo XIX fue perfeccionar viejas fórmulas de escurrimiento y buscar nuevas. Así, apenas apareció la fórmula de Bazin con sus dos coeficientes, no faltó quien se preguntara: ¿y por qué no condensarlos en uno solo? Además, esa fórmula mal se adaptaba a los resultados de Humphrey y Abbot: no era bastante “universal”. A ver quién inventaba otra que lo fuera más. Así se fueron reuniendo todos los datos experimentales disponibles, a los que cada investigador agregaba otros de su propia cosecha; luego se reordenaban y se volvían a procesar con nuevos criterios, aplicándoles el método de Laplace, el de Cauchy o el de los mínimos cuadrados, para ajustarles con la máxima precisión coeficientes y exponentes.

Nacen entonces fórmulas y más fórmulas. En 1867, ante la Academia de ciencias de París, Philippe Gauckler propone dos, complementarias. La primera es

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Con su coeficiente K, función de la rugosidad, para pendientes S mayor del 0.7 por mil; la segunda, también monomia, pero en , servía para pendientes menores. El abandono, en este último caso, que por cierto es el más usual en canales de riego, de la tradicional proporcionalidad de V con S^½,   seguramente le restó aceptación a la propuesta de Gauckler; y, además, ¿qué podría justificar el cambio brusco de una ley a otra, al cruzar la pendiente crítica del 0.7 por mil? Gauckler imagina que para pendientes mayores el agua “rueda” y para menores “se arrastra”; pero, ¿será cierto este comportamiento? No hay muchas evidencias favorables.

En Suiza la situación es compleja, porque la mayoría de los ríos son de hecho torrentes montanos, pedregosos y con pendiente de fondo muy irregular, en los cuales no alcanza a crearse un escurrimiento uniforme. Émile Ganguillet, jefe del Departamento de Obras Públicas en Berna, y su colaborador Wilhelm Kutter consiguen elaborar y publicar en 1869 una fórmula que abarca desde esos torrentes hasta el Misisipi, con un único coeficiente de rugosidad n, para el cual Kutter propone seis valores: desde 0.010 para canales revestidos de cemento perfectamente pulido, hasta 0.030 para arroyos con grava gruesa y plantas acuáticas. La fórmula aparenta la estructura tradicional ; pero esta C es muy compleja: suma de una constante más dos términos dependientes de S – R – y n- dividida entre otro trinomio de naturaleza parecida. Esto constituye un inconveniente serio en una época donde la única herramienta para acelerar la computación son los logaritmos, que, poderosos en manejar productos y cocientes, potencias y raíces, se paralizan frente a la más inocente de las sumas. Probablemente esta es la razón por la cual, a pesar de la comprobada validez y amplia aceptación de la fórmula Ganguillet y Kutter, no faltó quien volviera a ensayar otra del tipo 1, que se acomodaba particularmente bien a los resultados de Bazin.

Así, en 1881 Gotthielf Hagen descubre que esa fórmula, con K=43.7, se amolda a las mediciones de Cunningham en el canal del Ganges; y en 1887 Vallot propone la misma fórmula tuberías ordinarias, recomendando tomar K=65. En 1889 Robert Manning, profesor en el Real Colegio de Dublín, vuelve a propone, aparentemente sin conocer los antecedentes mencionados, la expresión 1, pero ahora como fórmula absolutamente general, para calcular las velocidades medias en tubos, canales y ríos, luego de haber comprobado su validez con base en los datos de 170 experimentos realizados por cinco autores distintos.¹⁰⁷

Hecho curioso, los valores del coeficiente K de la fórmula 1 se aproximan a los del inverso del coeficiente n determinados por Kutter: Gauckler había sugerido para mampostería y cemento tomar K entre 72 y 100, o sea 1/K entre 0.010 y 0.014, mientras Kutter aconsejaba para n valores entre 0.010 y 0.013; para canales en tierra, Gauckler proponía K entre 32 y 38, o sea 1/K entre 0.026 y 0.031, Kutter n=0.025; para cauces con vegetación, Gauckler recomendaba K entre 25 y 32, 1/K entre 0.031 y 0.40, Kutter n=0.030. Cuando Manning presentó su propuesta a la Institución de Ingenieros Civiles de Irlanda, no faltó quien lo interpelara al respecto; pero Manning se mostró contrario a remplazar K por 1/n, porque estudios recientes habían demostrado que a n no solo le afectaba la rugosidad del contorno, sino que variaba “con las dimensiones grandes o pequeñas de un mismo canal, con el radio hidráulico, con corrientes que acarrean guijarros, con la velocidad en tales canales”, y hasta con la pendiente de la superficie libre.¹⁰⁸ A pesar de esto, Flamant, en su Hydraulique, excelente libro de texto de fines del siglo XIX, proponía como “fórmula de Manning” la siguiente¹⁰⁹

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El tratado de Flamant tuvo una enorme difusión, y con él la fórmula de Manning. Adoptada desde luego por los americanos, es hoy en día la más popular (de hecho la única) expresión que utiliza la hidráulica práctica para el cálculo de V. La razón es sencilla: es verdad que, como menciona Manning, a n no le afectaba exclusivamente la rugosidad, sino en algo también las características de la sección mojada (lo que, por cierto, le ocurre incluso a K); pero esto se remediaba escogiendo en cada caso el valor adecuado. En lugar de los seis valores propuestos por Kutter, disponemos hoy de centenares, clasificados no solo según el material de las paredes, su acabado y estado de conservación, sino también de acuerdo con los diferentes tipos de conducto. Por lo que respecta a canales irregulares y cauces naturales, descripciones detalladas de sus condiciones y hasta fotografías típicas sugieren la selección de n, coeficiente que ya todos llaman de “Manning”, y no de “Kutter”.

De hecho, la fórmula de Manning ha sido considerada un éxito por todos, con excepción de su autor. Un buen día, Mr Manning despierta lleno de aprensión: su fórmula cojea en lo dimensional, porque, mientras que a la izquierda tenemos una velocidad, o sea: metros por segundo [sic], a la derecha solo tenemos (metros)^2/3, ya que la pendiente  carece de unidades. Entonces K tiene que medirse en (metros) ^1/3 por segundo [sic]; por tanto, para un mismo ducto, su valor cambia al usarse unidades métricas o bien inglesas. Pero no es solo este el defecto que Manning le ve: “Como las fórmulas modernas .escribe- son casi sin excepción empíricas, no homogéneas o tan siquiera dimensionales, es obvio que la validez de cualquier ecuación así debe depender del todo de la de las observaciones mismas y no puede en rigor aplicarse a ningún caso fuera de aquellas.”¹¹⁰ En consecuencia, Manning cambia su simpática fórmula, tan sencilla y manuable, por otra terriblemente complicada, en la cual con ingenio hacer desaparecer las dimensiones introduciendo como factores la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad, la altura de la columna de mercurio barométrica y la raíz de ésta última. Fórmula que deja tranquila su conciencia; pero que Flamant en su tratado solo consigna por cortesía en una breve nota al pie de la página, nota que nadie parece haber considerado.¹¹¹

 Libro de Wilhelm Rudolph Kutter, obtenido de: http://www.infibeam.com/Books/info/wilhelm-r-kutter/new-formula-mean-velocity-discharge-rivers-canals/9781148671185.html

Robert Manning, imagen obtenida de: http://www.gadeahermanos.es/coeficiente_maning.html

En la siguiente liga se encuentra la biografía de Robert Manning: http://www.gadeahermanos.es/coeficiente_maning.html

En la página http://jlbkpro.free.fr/shduhdfromatoz/manning.pdf, se puede consultar más acerca de Robert Manning, donde aparece la imagen anterior, en la cual se muestra la ubicación del lugar donde nació (Normandía, Francia) y donde murió (Belfast, Irlanda).

Imágenes para definir los valores del coeficiente de rugosidad, obtenido del libro, Hidráulica de los canales abiertos, de Ven T. Chow

Imágenes para definir los valores del coeficiente de rugosidad, Richard H. French, Open Channel Hydraulics