LA HIDROSTÁTICA DE GALILEO

Uno de los aspectos más interesante del Discurso mencionado anteriormente [ver “La paradoja de las láminas flotantes”] es el tratamiento novedoso que Galileo le da a la teoría de la flotación. Su idea básica es considerar que el cuerpo, sea más ligero o más pesado que el agua, se encuentra en movimiento real o virtual, hacia arriba o bien hacia abajo. O sea, analizar el estado de reposo a través del movimiento. Para ello, Galileo empieza por definir la cantidad de movimiento,  para lo cual utiliza el termino “momento”. Es muy curioso el hecho de que este término persiste en el idioma inglés como momentum, mientras que la expresión “cantidad de movimiento” que utilizan las lenguas neolatinas nació justamente en inglés, en la quantity of motion usada por Andrew Motte en su traducción inglesa (1729) de los Philosophiae naturales principia matemática  (Principios matemáticos de la filosofía natural) de Newton.

La definición que Galileo da es la siguiente: “Para los mecánicos ‘momento’ significa esa virtud, esa fuerza, esa eficacia con la cual el motor se mueve y el móvil resiste; la cual virtud depende no solo de la simple gravedad, sino también de la velocidad del  movimiento”²². He querido reproducir tal cual esta definición para que se note cuán difícil era expresarse cuando no se disponía todavía de una terminología mecánica aceptada universalmente, como la tenemos hoy en día. La definición se aclara un poco más abajo, donde leemos: pesos desiguales se equilibran y sus momentos se igualan cada vez que sus gravedades responden con proporción contraria a las velocidades de sus movimientos” ²³; de donde se deduce que, siendo “gravedad” el peso del cuerpo o algo proporcional a él, el “momento” resulta proporcional al producto de la masa por la velocidad.

El problema de saber cuáles sólidos se hunden y cuáles flotan conduce así a buscar un equilibrio entre la cantidad de movimiento del cuerpo, empujado a la fuerza debajo del agua, y la del agua levantada por el cuerpo mismo, “a cuyo levantamiento ella, como cuerpo pesado, resiste por su naturaleza”. “Hay que comparar –dice Galileo- los momentos de la resistencia del agua a ser levantada con los de gravedad que hunde al sólido; en cuanto los momentos de la resistencia del agua lleguen a igualar los momentos del sólido antes de su inmersión total, se hará el equilibrio y el sólido no se sumirá mayormente; pero si el momento del sólido supera siempre los momentos con los cuales el agua desalojada resiste, ese no solo se sumirá del todo, sino que se hundirá hasta el fondo; y si finalmente en el punto de inmersión total se igualaran los momentos del sólido impelido y del agua resistente, entonces se hará el reposo, y el sólido podrá descansar indiferentemente en cualquier punto del agua” ²⁴.

Galileo supone algo así como un principio de conservación de la cantidad de movimiento, principio que, aceptado por Descartes y sus seguidores, influirá –como veremos más adelante- en los primeros intentos de analizar teóricamente el movimiento de los fluidos. A continuación examina los posibles movimientos de sólidos colocados en agua quieta. Primero comprueba que “si levantamos un prisma sólido parcialmente sumergido, la bajada del agua tendrá {con respecto} al levantamiento del prisma la proporción que la base del prisma a la superficie libre del agua que lo rodea” ²⁵.

La demostración puede sintetizarse así: sean AB la primera posición del prisma, CD la segunda; AE la primera posición de la superficie libre del agua, GF la segunda (fig. 8). Evidentemente, debe realizarse la igualdad de volúmenes

                                           (1)

(seguimos aquí la funcional costumbre de la época de indicar volúmenes y áreas por los vértices de una diagonal). La igualdad 1 puede escribirse

De donde resulta que

            bajada agua: subida prisma = AG : AC = HA : AE                (2)

que es lo que se quería demostrar.

De lo anterior, y teniendo en cuenta el principio de conservación de la cantidad de movimiento, se puede comprobar que “un prisma de materia más ligera que el agua, rodeado por agua en toda su altura, tendrá que levantarse”²⁶.

En efecto, sean AF el prisma, CE el agua (fig. 9).  Se tiene que

peso CE : peso AF > volumen CE : volumen AF = AC : AB,

Y por el teorema anterior,

peso CE : peso AF > elevación de prisma : bajada agua, y, por tanto,

“momento” agua > “momento” prisma,

De lo que se concluye que el prisma deberá levantarse.

Cuando Arquímedes hablaba de cuerpos más pesados o más ligeros que el fluido, se refería evidentemente a su peso específico: pero no tenía un vocabulario para definirlo. El término lo introduciría Giambattista Benedetti, en su obra Diversarum speculationum mathematicarum et phiysicarum liber (Libro acerca de varias especulaciones matemáticas y físicas), publicado en Turín en 1585, al hablar de “gravedad absoluta” o peso y de “gravedad en especie” o peso específico. Esta diferencia la adopta Galileo –quien conocía muy bien el tratado de Benedetti- en la proposición siguiente: “Un prisma de materia más ligera que el agua, que descanse en un recipiente en el cual se vaya echando agua, se levantará sólo en cuanto el agua sobrepase una elevación tal que su proporción a la altura del prisma sea igual a la que subsiste entre los dos pesos específicos, del sólido y del agua” ²⁷.

Para comprobarlo, llamemos al peso específico del agua,  al del prisma. Supongamos que sea (fig. 10)

                                                                   (3)

Pero,

                                                        (4)

Supongamos ahora que el prisma ED intente levantarse. Por la proporción 2 tendríamos que

EB =   CB =  bajada de agua =   velocidad bajada agua

AF      AF      subida prisma       velocidad subida prisma

Igualando con la proporción 4, resulta finalmente que

“momento” agua =”momento” prisma

Siendo iguales dichos momentos, hay equilibrio entre agua y sólido. Bastaría agregar un poco más de agua para que el peso (y luego el momento) del agua aumente; de modo que el prisma se levantará hasta que solo su parte EB quede sumergida.

De lo anterior, Galileo infiere que “sólidos de peso específico menor que el del agua se sumergen tanto hasta que un volumen de agua igual al de la parte sumergida pese igual que todo el sólido” ²⁸. En efecto, de la proporción 3 resulta la igualdad de pesos

Insiste luego en el hecho de que el volumen de sólido que quede sumergido nada tiene que ver con el volumen mayor o menor de agua que lo rodea; y concluye: “Acábese por tanto la falsa opinión  de aquellos que estimaban que un navío  podrá sostenerse mejor y más fácilmente en grandísima abundancia de agua que en cantidad pequeña (lo que creyó Aristóteles en los Problems, Sección 23, Problema 2), siendo por lo contrario verdad que un barco flota igualmente bien en diez barriles de agua que en el océano”²⁹.

“Con esto –concluye Galileo- me parece haber suficientemente aclarado y abierto el camino a la contemplación verdadera, intrínseca y adecuada causa de los diferentes movimientos y del reposo de distintos cuerpos sólidos en diversos medios fluidos, en particular, en el agua, mostrando cómo de hecho todo depende de los intercambiables excesos de peso de los móviles y de los medios” ³⁰.