LA LEY DE CASTELLI

El 12 de noviembre de 1625 Castelli, entonces profesor de Pisa, escribía a Galileo: “En estos días he demostrado geométricamente con mucha facilidad la siguiente proposición: que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre por un río cuando tiene otra altura de agua está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura”¹⁷. A lo que Galileo contestaba el 21 del mismo mes, diciendo que esa proposición le parecía “muy clara, siendo que, al mantenerse la misma altura, el agua que escurre es como la velocidad y, manteniéndose la misma velocidad, ella es como la altura; por tanto, combinando alturas y velocidades, las aguas que escurren tienen la proporción compuesta entre las dos”¹⁸. Este resultado, que se refiere evidentemente a ríos de sección rectangular, aparece en el libro Della misura , expresado en forma más general en la Proposición II, al remplazarse la palabra “altura”, o sea tirante de agua, por la palabra “sección”. Si indicamos con Q el gasto  (volumen de agua que escurre en un tiempo determinado), con A el área de la sección, o V la velocidad y con subíndices 1 y 2 las dos secciones, lo enunciado puede escribirse

                                                                                            (1)

Si, como hacemos actualmente, se uniforman las unidades de medida, expresando por ejemplo las áreas en m², las velocidades en m/s y los gastos en m³/s, la fórmula 1 se simplifica en

                                                                                                           (2)

Y significa que el gasto, en cualquier sección, es igual al producto de la velocidad por el área de la sección misma.

La demostración de lo anterior se apoya sobre la siguiente Proposición I: Las secciones de un mismo río descargarán, en tiempos iguales, iguales cantidades de agua, auque las secciones mismas sean desiguales; proposición cuya demostración vale la pena recordar, porque ofrece una idea del método “geométrico” empleado por el autor. Sean A y B dos secciones del río C, que corre de A hacia B (fig. 53). Digo que descargarán iguales cantidades de agua en tiempos iguales. En efecto, si por A pasara una cantidad mayor de la que pasa por B, seguiría que en el espacio intermedio del río, C, el agua crecería continuamente, lo que es manifiestamente falso; si, por el contrario, de la sección B saliera más agua de lo que entra por A, el agua en el espacio intermedio C iría menguando continuamente y seguiría bajando, lo que también es falso. Por tanto, la cantidad de agua que pasa por la sección B es igual a la cantidad que pasa por la sección”¹⁹.

A la proposición II le siguen otras cuatro, que podemos expresar brevemente así:²⁰

Proposición III. Para dos secciones de un mismo río, de áreas A₁, A₂ y velocidades V₁, V₂, resulta que

Proposición IV. Un río de ancho b₁, y velocidad V₁ al penetrar en otro de ancho b₂, adquiriendo la velocidad V₂, alcanzará un tirante h₂ tal que

Proposición V. Si un río descarga un gasto Q₁ con tirante h₁ y velocidad V₁, y luego sobreviene una crecida que, con velocidad V₂, eleva el tirante a h₂, el nuevo gasto Q₂ será tal que

Proposición VI. Si dos avenidas de un mismo afluente penetran en un mismo río, y este corre con velocidades V₁, V₂, respectivamente, los incrementos de tirante Dh₁, Dh₂ serán tales que

Benedetto Castelli ha sido considerado en Italia como “padre de la Hidráulica” y la fórmula 2 se ha conocido como “ley de Castelli”. Esta atribución ha sido posteriormente controvertida, porque otros antes que él habían tenido un conocimiento por lo menos parcial de ella; por ejemplo Leonardo ya había enunciado claramente la Proposición I y la había demostrado de manera muy parecida; sin embargo, la atribución parece merecida. Porque Castelli, como lo hemos visto, fue buscando este principio con tesón, perfeccionándolo poco a poco y, una vez establecido, lo fue aplicando sistemáticamente para resolver cantidad de problemas hidráulicos. No querérselo acreditar sería un poco como negar a Colón el descubrimiento de América,  por el simple motivo de que hubo antes uno o dos europeos que, por mera casualidad, arrojados por la borrasca, arribaron a las playas del nuevo mundo. Y como prueba de lo dicho, vale la pena recordar algunas consideraciones con las que Castelli concluye su tratado: “De las cosas declaradas, si se entienden bien, se sacarán muchos [criterios] cómodos y útiles, no solo para subdividir las aguas corrientes en relación con los infinitos usos que les corresponden al mover piedras de molino, fábricas de papel y de polvo para arcabuces, talleres, machacadoras de arroz, herrerías, moledoras de aceite y de arrayán, sierras para madera, curtidoras de pieles, batanes, hilanderías y semejantes instalaciones, sino también para el provecho de canales navegables, la derivación de ríos y canales, y para definir los tamaños de los conductos para fuentes; aprovechamientos en los cuales suele cometerse grandes errores, que luego ocasionan fuertes pérdidas, por resultar a veces los canales y tuberías incapaces de llevar los gastos requeridos, y otras veces más grande de lo necesario. Complicaciones estas que se evitarán en cuanto el ingeniero se entere de lo antes mencionado”²¹.

Imágenes obtenidas de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli/bernouilli.htm