PADRE E HIJO

El padre de Daniel también llegó a interesarse en la cuestión del orificio, en ese entonces problema número uno de hidrodinámica. Su solución, por razones que veremos más adelante, es diferente, y vale la pena recordarla aquí. Johann no llega a explicar la doble columna, pero por primera vez introduce conceptos importantes: los de transición y de separación del flujo en cambio de sección.

Considera un conducto ABCFDE de ancho unitario (fig. 40), compuesto por dos tubos de sección diferente, dentro del cual escurre un líquido. En el paso del fluido del tubo mayor al menor, hay un cambio de velocidades en proporción inversa a las áreas de las secciones; pero –argumenta Johann- el cambio debe ser gradual, formándose una “garganta” IHGF donde se encauza la corriente, mientras queda quieto el fluido alojado en la zona separada IMFD. La aceleración que se asocia con el paso por la garganta requiere la presencia de una fuerza motriz, que no puede provenir sino de la presión aplicada al fluido en la sección EA, que se transmitiría instantáneamente hasta la FG.

Los cálculos de Johann se siguen más fácilmente que los de Daniel, porque la manera como están escritos nos resulta familiar: por ejemplo, Johann llama v a la velocidad, p a la presión, g a la aceleración de la gravedad, e indica con x la coordenada horizontal y con y la vertical. Se podría decir que sus notaciones se parecen a las nuestras; pero lo cierto es que son las nuestras las que se parecen a las de él, lo cual seguramente se debe a Euler, quien utilizó el simbolismo de su maestro al establecer las ecuaciones fundamentales de la hidrodinámica bajo la forma en que hoy las empleamos. En las fórmulas de Johann, como las de Daniel, se omite la densidad r; pero este defecto lo comparten también obras actuales, como el conocido libro del Dr. Townsend sobre la estructura del flujo turbulento⁵⁶.

El razonamiento de Johann es esencialmente el siguiente. Si v es la velocidad en el tramo FB, donde la sección es m, la velocidad u en un punto de la garganta donde la sección sea y será

                                                                                         (1)

Luego considera la “fuerza acelerada”, que es la que nosotros llamamos “fuerza másica”, o sea por unidad de masa; fuerza que, al final de cuentas, no es sino la aceleración.

por ser , donde se deduce que

                                                                              (2)

Siendo dx el ancho de una tajada fluida infinitesimal MKLN de la garganta, rdx representaría la masa por unidad de sección de dicha tajada y radx lafuerza por unidad de sección, o sea, la presión diferencial aplicada para mover a la tajada misma. La presión requerida para mover todo el fluido de la garganta se obtendrá integrando radx a lo largo de la garganta, lo que por la expresión 2 equivale a integrar rudu. Según la ecuación 1, tenemos que

Y entonces la presión total p será

donde h representa el ancho HI, Concluyendo,

                                                                          (3)

será la presión requerida para crear la aceleración necesaria en la garganta con el objeto de cambiar la velocidad del agua del tubo mayor en la del tubo menor. Johann infiere, con base en la fórmula 3, que, para determinar dicha presión, no es necesario conocer ni la forma ni el largo de la garganta.

Como corolario, considera el caso de remplazar el conducto mayor por un tanque AEDG (fig. 41). Si  EF=d es el tirante de agua sobre el tubo FB,

         (4)

será la presión ejercida sobre la entrada de dicho tubo. Por otro lado, la altura z de la cual tiene que caer libremente un cuerpo para alcanzar la velocidad v de salida resulta de la ecuación, análoga a la expresión 2,

de la cual, integrando, se obtiene

                                                                                        (5)

Remplazando la ecuación 5 en la 3, despejando z y aplicando la fórmula 4, resulta finalmente

                                                                              (6)

De donde se concluye que la velocidad del agua que sale del orificio BC al destaparse este, converge muy rápidamente a la que adquiere un cuerpo que caiga libremente desde la altura expresada por la fórmula 6⁵⁹. Finalmente, si el orifico es muy pequeño con respecto a la sección del tanque, de modo que m² pueda despreciarse frente a h², la fórmula 6 se reduce a z=d. “Este es un teorema muy conocido –concluye Johann-, pero hasta ahora no había sido deducido de principios dinámicos, especialmente cuando está presente el tubo adicional BF, porque antes el teorema se consideraba correcto solo para un pequeño orificio ubicado en F”⁶⁰.

Johann insiste sobre la importancia de considerar la fuerza que empuja al fluido a través de la garganta: “El dejar de considerar esta fuerza  motriz, como si fuera de poca importancia, ha sido la razón por la cual nadie hasta hoy a podido obtener las leyes del escurrimiento de los líquidos por conductos no uniformes, a partir de principios estáticos y puramente mecánicos. Pero quienes emprendieron la determinación exacta de esas leyes regresaron –siguiendo mi ejemplo, por cierto- al principio de las fuerzas vivas, cuya aplicación a este y otros problemas, ya sea en sólidos como en fluidos ellos tal vez no habrían considerado nunca si no me hubiesen seguido a mi, que fui el primero en mostrar cómo estas leyes pueden deducirse de la conservación de las fuerzas vivas. Pero yo mismo, insatisfecho en cuanto el método era indirecto y fundado sobre una teoría de esas fuerzas que no se acepta todavía universalmente, no dudé en buscar un método directo que se apoyara solamente en principios dinámicos que nadie objete. Finalmente, luego de una meditación bastante prolongada, conseguí mi propósito en el año 1729, cuando advertí que el punto crucial de todo el asunto está en considerar la garganta, que antes nadie había tomado en cuenta. Así, ahora empiezo a compartir mis descubrimientos, ya explicados previamente a ciertos amigos, también con el público”⁶¹.

Todo lo anterior se lee en el pequeño tratado Hydraulica, nunc primum detecta ac demostrata directe ex fundamentis pure mechanicis (Hidráulica, ahora descubierta por primera vez y demostrada directamente a partir de fundamentos puramente mecánicos), donde lo de “fundamentos mecánicos” parece referirse a que allí no se utiliza el principio de cantidad de movimiento. Esta obra, a pesar de estar fechada en el año 1732, fue remitida a Euler en dos partidas, la primera en 1739 y la segunda en 1740, para su publicación en las memorias de la Academia de San Petersburgo; y como allí tardaron, respectivamente cuatro y siete años en aparecer, acabaron por editarse primero en la colección de las  Opera omnia (Obras completas) de Johann Bernoulli, que vio la luz en  Suiza en 1743, para celebrar los 75 años del renombrado científico⁶².

Ahora, en lo que hemos leído llama la atención el énfasis puesto por el autor sobre su prioridad no solo en la idea de la garganta, sino también en la utilización del principio de conservación del principio de conservación de las fuerzas vivas, hecha por “otros” en el análisis del fenómeno en cuestión. Pero, ¿quiénes podrían ser estos otros? ¿No se trataría, en primer lugar, del mismo Daniel que, como sabemos, así había procedido? Porque entre el padre, cuyo carácter receloso y pendenciero se trasluce en el escrito, y el hijo, más bien sencillo y franco, no era la primera vez que surgían conflictos. Una vez Daniel y su padre habían enviado, cada uno ocultándolo al otro, soluciones a una cuestión propuesta por la Academia de Ciencias de París. Resultado: el premio lo gana Daniel; y el padre se enfurece tanto que lo echa de la casa⁶³.

En las cuestiones relativas a hidrodinámica o hidráulica, Daniel parece haber precedido al padre. Salvo la refutación que conocemos de la catarata de Newton, Johann parece haber empezado a trabajar en el tema solo cuando el hijo ya se hallaba recopilando sus resultados. Pero en la Hidrodinámica de este último se encuentra una enorme cantidad de material cuya presentación es poco metódica, especialmente en lo que se refiere al tratamiento teórico; lo que debió desagradar a la mentalidad matemática del padre, quien con razón se habría sentido impulsado a proponer otra, más sintética y rigurosa. Pero, ¿por qué ocultarlo a Daniel? ¿Por qué dejar que este solo se enterara cuando las Opera omnia vieron la luz? Y más que todo, ¿a que venía la impostura de anteponer a la Hidráulica la fecha 1732, con el objeto aparente de demostrar que los resultados del padre precedían a los del hijo?⁶⁴

Además, Johann había hecho imprimir al principio de esta obra, como presentación, una carta dirigida a él por el “sagacísimo matemático Leonhard Euler”, a la sazón ya más celebre que su maestro. “Con anterioridad –escribía Euler- yo he alabado grandemente la teoría de Ud acerca del agua corriente, debido al positivo y genuino método que Ud solamente, Excelentísimo Señor, reveló primero, para tratar exhaustivamente problemas de este tipo. Pero ahora, luego de haber examinado otra porción de sus estudios, he quedado totalmente asombrado por la sencillísima aplicación que Ud hace de sus principios a la solución de los problemas más intrincados, invento sumamente útil y profundo, gracias al cual su ilustrísimo nombre se reverenciará para siempre entre las futuras generaciones… Es cierto que ningún otro ha acometido este tema salvo su muy renombrado hijo que, sin embargo, definió la presión de una manera bastante indirecta, solo en cuanto todo el movimiento ya haya adquirido el estado permanente; con todo, luego que el método genuino fue traído a la luz, Ud determinó sin más con toda precisión la presión en todo estado del agua”⁶⁵.

Y Daniel, ¿Qué dice? Examinando el último volumen de las Opera omnia recién publicadas descubre la Hidráulica, la hojea, se adentra en los detalles buscando en vano una mención a sus propios trabajos. Estremecido, con la sangre que le sube a la cabeza, se esfuerza por hallar el sosiego necesario para leer con calma. Además, esa fecha… Y Euler, su íntimo amigo, el muchacho siete años más joven, que él tanto había querido y ayudado, helo aquí también arremetiendo en contra suya. ¿Qué hacer? ¿Enfrentarse al padre? ¿Y con que provecho? Bien conoce su mal genio. Agarra papel, pluma y tinta y escribe a ese farsante de Euler: “Suplico a Vuestra Excelencia –curiosamente así de ceremoniosas eran sus cartas- que me comunique con sincera amistad y confianza su opinión acerca de las Opera de mi padre, especialmente el último volumen. Por mi parte, yo tengo una razón del máximo peso para quejarme de ellas: los nuevos problemas mecánicos provienen de mí en su mayor parte; y mi padre incluso había visto mis soluciones antes de resolverlos a su manera; sin embargo, ni una palabra para darme crédito, lo que encuentro más enojoso en cuanto mi solución no se ha publicado todavía… Me hallo hurtado de repente de mi entera Hidrodinámica, por la cual por cierto no soy acreedor ni de una tilde según mi padre, y así pierdo en una hora los frutos de diez años de labor. Todas las proposiciones las toma de mi Hidrodinámica; y, sin embargo, mi padre intitula sus escritos Hidráulica, ahora descubierta por primera vez, año 1732, siendo que mi Hidrodinámica  se imprimió solo en 1738. Mientras tanto mi padre ha sacado de mi todo, salvo que él pensó en un método general diferente para determinar el incremento de velocidad, invento que consiste en unas pocas hojas. Lo que mi padre no reclama totalmente para sí, eso lo desprecia; y finalmente, colmo de mis males, anexa la carta de Vuestra Excelencia en la cual también Ud rebaja mis inventos en un campo en el cual yo soy totalmente el primer, por no decir único, autor, y que pretendo haber agotado por completo. Todo esto es todavía lo menos de que me puedo quejar. En un principio esto me parecía casi imposible de aguantar; pero finalmente he tomado todo con resignación; aunque me haya también nacido un disgusto y desprecio hacia mis estudios anteriores, tanto que preferiría haber aprendido el oficio del zapatero y no el de matemático. Además, desde entonces ya no me he podido decidir a trabajar en nada que sea de matemáticas. El único gusto que me queda es elaborar de vez en cuando algún proyecto sobre el pizarrón, para poderlo luego olvidar”⁶⁶.

Por esa fecha Euler residía en Berlín, donde había ido dos años antes por invitación de Federico el Grande, que estaba congregando sabios en su Academia; y Euler había preguntado a Daniel si estaría dispuesto a ingresar en ella. Pero Daniel ya no quiere oír nada de eso: “No podría aceptar en sincera conciencia la invitación A Berlín, tampoco si el mismo Rey me hiciera el honor de enviármela; así que le ruego no pensar ya en mí para este asunto”. Finalmente concluye: “No he podido evitar quejarme con Vuestra Excelencia, como mi mejor amigo, viendo que podría bien surgir una ocasión para que Ud me defendiera de esa injusta sospecha de plagio, sin hacer daño a mi padre; y hacer de modo que, por lo que concierne a los puntos en controversia entre mi padre y yo, la verdad no sufra daño. No me parece conveniente defenderme a mí mismo”⁶⁷.

De hecho, las sospechas de Daniel en contra de Euler eran injustas. El padre había publicado solo la primera parte del comentario que Leonhard le había remitido, caracterizada por expresiones de deferencia del alumno a su anciano maestro. Pero la carta continuaba con una crítica precisa, que Johann se cuidó de divulgar, crítica que hace justicia a Daniel: “Cuando, para tuberías conectadas horizontalmente a un depósito, Ud halla que la presión que impulsa al recipiente hacia atrás difiere de aquella que concuerda con la hipótesis de su hijo, esa fuerza así como la determina su ilustre hijo me parece sin duda más acorde con la verdad que la de Ud; sea esto dicho sin ofensa para Ud”⁶⁸; y Euler continúa explicando como la teoría de Johann podría corregirse para conciliarla con la de Daniel. Además, hay una razón de fondo que le impide a Euler asumir una actitud definitiva a favor del uno o del otro: ve lo bueno que hay en ambas teorías; sin embargo, ninguna lo deja totalmente satisfecho. Daniel se precia de haber “agotado por completo” el campo de la hidrodinámica, pero Euler no lo ve así. Matemático más sutil que los Bernoulli, de hecho uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos, Euler se halla insatisfecho, nota la ausencia de algo sustancial. Johann y Daniel están visualizando el movimiento del fluido y las fuerzas que lo producen, en una sola dimensión: la corriente avanza tajada tras tajada; tajadas de ancho infinitesimal, rígidas e indeformables. Pero la realidad no es así: el viento no agita a dos hojas de la misma manera; cada partícula de la masa fluida se caracteriza por sus propias velocidades y presiones, que además varían de un instante a otro. ¿Serán las matemáticas incapaces de elaborar un modelo que tome todo esto en cuenta? Euler percibe que no es así; algo en su pensamiento lo eleva muy por encima del universo de los Bernoulli. Necesitará diez años más de meditación; pero entonces sacará a la luz una teoría completa e inmejorable, y al mismo tiempo increíblemente sencilla, capaz de considerar punto por punto lo que acontece dentro del fluido y deducir los efectos resultantes.

Imagen obtenida de:

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler