PARADOJAS HIDROSTÁTICAS

Casi un siglo después de Arquímedes, vivía en Alejandría un ingeniero llamado Herón, cuyo gran interés en la mecánica de los fluidos lo llevó a recopilar en un tratado, la Nemática, varios dispositivos que utilizan la energía del agua o del vapor. ¿les gustaría poseer un vaso que quede siempre lleno, no importa lo que Uds tomen, u otro del cual no se pueda beber sin haber introducido una moneda? ¿O bien un par de vasos del cual, al echar agua en uno, del otro salga vino? En el libro de Herón hallaran las instrucciones necesarias para fabricarlos. Allí encontrarán también entre otras curiosidades cómo, abriendo la llave del agua, se puede hacer que una trompeta suene, un pájaro cante continua o intermitentemente, o que varios pájaros canten uno después de otro. Hallarán un autómata que toma cualquier cantidad de líquido se le ofrezca, y otro que a veces toma y otras no; una rueda que al girar hace que salga agua bendita; un fuego que al prenderse hace que se abran las puertas del templo, o bien que se viertan libaciones sobre el altar. Verán cómo, con solo levantar una manzana, se puede hacer que Hércules dispare contra un dragón y este, herido, se queje gimiendo.

En la introducción, donde menciona los principios utilizados en sus mecanismos, Herón se refiere a la presión hidrostática. ¿Existe o no tal presión? ¿Por qué será, se pregunta, que los nadadores que bucean muy hondo, soportando en sus espaldas un peso enorme de agua, no resultan aplastados? Hay quien afirma que se debe a que el agua es de peso uniforme; pero esto no explica nada, dice Herón; he aquí la verdadera causa: Supongamos que la columna líquida que e halla directamente encima del objeto sumergido se transforma en un cuerpo sólido (A en la fig. 11) de la misma densidad del agua, que alcanza la superficie libre por el lado superior, y por el inferior está en contacto inmediato con el objeto mismo. Este cuerpo equivalente ni sobresale del líquido en que está, ni se hunde en él, según lo demostrado por Arquímedes; por tanto, no teniendo ninguna tendencia hacia abajo, no ejercerá ninguna presión sobre el objeto adyacente³¹.

Este razonamiento llevaría a concluir que no hay presión hidrostática en el seno de un fluido; pero si el objeto sobre el cual este se apoya es el fondo o la pared de un depósito, dicha presión si se nota. Bien lo saben quienes deben de contener el empuje del agua con terraplenes o compuertas; y lo sabían los holandeses cuando, en la segunda mitad del siglo XVI, confiaron a un renombrado matemático, Simón Stevin, la defensa de sus tierras bajas contra las inundaciones marinas, capaces, por su salinidad, de volver estériles las mejores tierras de cultivo.

Se sabía que cuanto más profunda queda una compuerta, tanto más se debe reforzar y más difícil resulta maniobrarla. ¿No se podría abaratar su construcción –preguntaban algunos- reduciendo la cantidad de agua que la compuerta tiene encima? Supongamos por sencillez, como muestra la fig. 12, que la compuerta AB sea horizontal, ubicada en el fondo HK de un depósito, y que sea GL la superficie libre. Si angostamos el acceso del agua dejando para su paso solo la sección MEABFN y rellenamos todo lo demás, ¿no quedaría la compuerta menos cargada? ¿Y no podría ser –decían otros- que inclinando, como en la figura, el conducto,  la pared ME soporte la carga de la porción superior del agua, descansando sobre la compuerta solo la porción inferior? Stevin, como buen matemático, meditó acerca del problema y sacó conclusiones muy distintas.

Primero consideró que si el agua queda limitada por el v aso CABD, o sea, se reduce a la columna vertical que está encima de la compuerta, evidentemente esta última debe soportar todo su peso. Ahora, si sumergimos en el agua un sólido de forma cualquiera, pero de la misma densidad de aquella, la presión no podrá alterarse. Además, si se le da al sólido sumergido una figura tal que no deje libre sino un canal de forma arbitraria, tampoco cambiará la presión total sobre la compuerta. Finalmente supongamos que se fije el sólido al fondo, formando el conjunto rígido GMEAH-LNFBK: la situación no cambiara, cualquiera que sea ahora el peso específico del sólido mismo. Concluyendo, la presión sobre la compuerta o en general sobre el fondo, será siempre igual al peso de la columna vertical de agua sobrepuesta, sea cual sea la geometría del vaso³².

Esto publico Stevin en su librito sobre hidrostática aparecido en 1586. Pero, por estar escrito en idioma flamenco, muy pocos lo leyeron; y sus resultados no se difundieron hasta que, en 1608, el trabajo se tradujo al latín, idioma científico universal de la época.

Naturalmente, el contenido de la obra no se limita a lo anterior. La carga del agua sobre fondos horizontales rara vez crea problemas al ingeniero. Estos aparecen cuando el agua descansa en paredes verticales o inclinadas, empujándolas y amenazando su estabilidad. Para analizar este caso, Stevin utilizó el método ideado por Arquímedes para la rectificación de curvas y la cuadratura de áreas. Por medio de líneas horizontales, como AC, BD (fig. 13), subdividió la superficie MN de la pared en pequeñas secciones (como AB) y comprobó que la presión que cada sección soporta es mayor que la que soportaría si fuese horizontal al nivel superior (AC) y menor que si lo fuese al nivel inferior (BD). De donde, disminuyendo siempre más las anchuras AB hasta aumentar al infinito su número, llegó a la conclusión de que el empuje sobre la pared es igual al peso del volumen de agua que se constituiría aplicando perpendicularmente a la superficie en cada uno de los puntos una columna elemental infinitamente delgada (HABK), de altura igual a la profundidad de ese punto con respecto a la superficie libre.

Este resultado, valido para cualquier pared curva, implica que, en el caso de un talud vertical o inclinado rectilíneo, el empuje es igual al peso de la columna de agua que tiene la superficie mojada por base y como altura la mitad de la del tirante de agua sobre el pie de la pared³².

El problema de la presión en el seno del fluido, que vimos planteado por Herón, lo vuelve a analizar Galileo “para abrir los ojos a ciertos mecánicos prácticos que sobre un fundamento falso intentan a veces empresas imposibles”. Considera el vaso ancho GIDH, conectado con el caño angosto ICAB, donde el agua alcanza el nivel LMGH (fig. 14). No faltará quién se asombre, dice Galileo, del hecho de que la grave carga de toda la masa no levante y expulse la pequeña cantidad de agua contenida en el caño CL que, aun siendo tan reducida, le impide bajar. Sin embargo toda se explica, según él, considerando que si el nivel GH  bajara poquito, hasta OQ, el nivel LM subirá mucho, hasta AB, estando la subida LA con respecto a la bajada GO en proporción inversa a las secciones LM y GH de los dos conductos, y, por tanto, en proporción directa a las velocidades con que se desplazan las columnas respectivas. Los “momentos” de ambos brazos (masas desplazadas por velocidades relativas) resultarán luego iguales, cumpliéndose la ley de igualdad de cantidades de movimiento. “Siendo que el momento de la velocidad del movimiento de un móvil compensa el de la gravedad de otro, ¿porqué habrá que admirarse de que la velocísima subida de la poco agua CL equilibre la tardadísima bajada de la mucho agua GD? ³³.

{Se encontró dos páginas que hablan del libro “Pneumática” de Herón, cuyas ligas son: http://www.egiptomania.com/ciencia/pneumatica.htm y http://www.history.rochester.edu/steam/hero/ , la primera en español}

Imágenes obtenidas de Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin