PÉNDULOS Y RELOJES

“Mil veces he observado las oscilaciones, en particular de las lámparas que en algunas iglesias penden de cuerdas larguísimas, cuando inadvertidamente alguien las mueve –menciona en cierta ocasión Sagredo en las Nuevas Ciencias. Pero lo más que he podido sacar de tales observaciones ha sido la improbabilidad de la opinión de quienes pretenden que es el medio –o sea, el aire- el que mantiene y continúa semejantes movimientos; porque me parece que en este caso el aire debería tener un gran discernimiento, y al mismo tiempo muy poco que hacer, para gastar horas y horas de tiempo en empujar con tanta regularidad, hacia acá y hacía allá, un peso en suspensión.”¹⁵ Muchos, no solo Galileo, habrán contemplado, desde la antigüedad más remota, objetos colgados de una cuerda balanceándose en el aire. Pero, ¿qué era lo que ellos “veían”? Como observa Khun, el aristotélico –para quien la tendencia de los cuerpos pesados es bajar hasta alcanzar su reposo natural- veía en las oscilaciones un modo de caer, difícil debido al vínculo con la cuerda; por tanto, las características esenciales de esa suerte de movimiento serían probablemente el peso y tamaño del objeto, la altura desde la cual caía y el tiempo de caída; eventualmente, también la resistencia del medio ambiente. Por el contrario, Galileo vio en la lámpara oscilante al péndulo: un cuerpo que se guía repitiendo indefinidamente el vaivén, pero reduciendo siempre más amplitud; así que, para él, las características esenciales eran la longitud del hilo de suspensión y la amplitud de la oscilación.

En un principio, debió considerar también el peso del cuerpo oscilante; sin embargo, lo descartó pronto, al descubrir el isocronismo de las oscilaciones, o sea que estas, aun siendo de amplitud diferente, se realizan poco más o menos en el mismo tiempo. Halló una justificación de este hecho singular en las leyes de la caída de los graves; precisamente en el Teorema VI, que le aseguraba que las caídas por las cuerdas CB y EB de la figura 23 [ver II.1 Chorros] se llevaban a cabo en un mismo tiempo. Claro las cuerdas no son los arcos; entonces, acudió al experimento, donde comprobó que también los arcos “se recorren todos en tiempos iguales, pero más breves que los tiempos de trayecto por las cuerdas; hecho que parece maravilloso, ya que a primera vista se siente que debería suceder lo contrario”. Además, Galileo entendió el efecto del largo del hilo: “En cuanto a la proporción de los tiempos de las oscilaciones de móviles pendientes de hilos de longitud diferentes, esos tiempos están en la misma proporción que las raíces cuadradas de las longitudes de los hilos, o, si se prefiere, las longitudes están en proporción de la segunda potencia de los tiempos. De modo que, si se quiere, por ejemplo, que el tiempo de una oscilación de un péndulo seo doble del tiempo de oscilación de otro, es necesario que la longitud del hilo que aquel sea cuádruple de la longitud del hilo de este.”¹⁶

Pero el péndulo le permitió a Galileo llegar más allá. Hincando un clavo A en una pared vertical (fig. 99), le amarró un hilo muy delgado, del cual colgó luego una bola de plomo C. Trazada sobre la pared la horizontal CD, comprobó que, al soltar la bola en C, esta recorría el arco CBD, alcanzando casi el punto D. Después, fijando en la pared otro clavo E, sobre la vertical por A, al soltar nuevamente la bola en C pudo comprobar que, atorándose el hilo en E, aquella subía por el arco BG, alcanzando casi el punto G. Igualmente, si el segundo clavo se fijaba en F, la bola llegaba a I. Si por fin este clavo quedaba tan bajo que la bola no podía elevarse hasta el nivel DC, el hilo daba vueltas alrededor del clavo y se enroscaba en él. Galileo comenta: “Siendo los dos arcos CB, DB iguales, y ubicados de modo semejante, el momentum adquirido en la caída a través del arco CB es el mismo que el que se produce durante el descenso por el arco DB; pero el momentum adquirido en B a través del arco CB es capaz de elevar el mismo móvil por el arco BD; por consiguiente, también el momentum adquirido en la caída de DB es igual a aquel que eleva el mismo móvil por el mismo arco, de B hasta D. De manera que, en general, todo momentum adquirido por la caída a lo largo de un arco es igual a aquel que puede hacer que el mismo móvil vuelva a subir por el mismo arco. Aún más: todos los momenta que vuelven a elevar la bola por los arcos BD, BG, BI, son iguales, porque resultan del mismo idéntico momentum adquirido por la caída en CB, como muestra el experimento: por consiguiente, todos los momenta adquiridos por las caídas siguiendo los arcos DB, GB, DB, son iguales.”¹⁷

Evidentemente, el momentum (plural: momenta) que aquí menciona Galileo nada tiene que ver con el momento que cita en el Discorso interno alle cose che stanno in su l’acqua. A ese lo pudimos identificar con la actual cantidad de movimiento, producto de la masa por la velocidad: por el contrario, en el caso de la figura 99, como el tiempo requerido para recorrer cierto arco es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de hilo (o sea, de su radio) y la longitud del arco es proporcional al radio, la velocidad de la bola –razón entre el espacio y el tiempo- será también proporcional a la raíz del radio; por tanto, la bola, cuya masa no cambia, llegará con velocidades distintas, y luego con momentos distintos, a las posiciones D, G, I. Pero, afirma Galileo, sus momenta serán los mismos. ¿Qué representa entonces el momentum? Evidentemente, la energía, que, adquirida en la bajada, se gasta en la subida, permitiendo que el móvil vuelva a su nivel original.

Galileo tenía una concepción muy clara de esto. En una nota manuscrita que nos queda de él, leemos: “Me refiero a ese individuo que es tan cándido que quiere levantar por bombeo una cantidad de agua suficiente para que, al caer, ponga en movimiento un molino que, cuando se le aplicó [directamente] la fuerza que se emplea para elevar el agua, no pudo funcionar: ¿es posible que tú creas que el agua pueda devolverte más fuerza de la que le entregas? ¿Es posible que no entiendas que esa fuerza que le fue suficiente para levantar el agua bastará para mover la muela?”¹⁸

Los relojes que antes solo se instalaban en las torres –complicados armatostes con mecanismo de acero, accionados por enormes pesas- en el siglo XVI ya habían ingresado en las casas más pudientes. Sostenidos o colgados de la pared (por eso se le llamaba “linternas de ménsulas” o “jaulas de pájaro”) funcionaban también por pesas, o bien por resortes espirales. La carga, que consistía en levantar la pesa o apretar el resorte, había que dársela cada 12 ó –en los más perfeccionados- cada 24 horas. Tenían una sola manecilla; de hecho, su precisión no importaba mucho (hasta dos horas diarias de avance o retardo eran aceptables), porque el reloj de pared era entonces una pieza de lujo, admirada sobre todo por su valor ornamental y el prestigio que su presencia confería a la morada.

El descubrimiento de la ley del isocronismo sugería la conveniencia de utilizar el péndulo para medir exactamente el tiempo; pero a Galileo poco le interesaban los mecanismos. No sucedió lo mismo con Christian Huygens, que nació cuando Galileo tenía 65 años. Su padre, el gran amigo de Descartes, le había enseñado música, aritmética, geografía, y muy pronto le había familiarizado con las máquinas, las cuales encantaban al muchacho. Encerrado en el taller con su hermano mayor –que se llamaba Constantijn como el padre- componían engranes y resortes para producir mecanismos dotados de los movimientos más curiosos. Con el paso del tiempo, llegó a construir un autómata planetario, que reproducía todos los movimientos de los planetas y sus satélites. A un joven así no se le podía escapar la construcción del reloj de péndulo, y la realizó cuando aún no cumplía los 30 años, mucho antes de mudarse a París.

Pero la péndola de un reloj no puede consistir en un hilo y una bolita; para reducir la resistencia del aire, debe tener un disco bastante grande, colgando de una barra rígida. Esta sustitución del “péndulo simple” por un “péndulo compuesto” complicaba el cálculo de la frecuencia de su oscilación.

Después de resolver matemáticamente el problema al seguir el movimiento del centro de gravedad del cuerpo, a Huygens le quedó la curiosidad de profundizarlo más: suponiendo que lo que oscila sea el conjunto de una gran cantidad de cuerpos que bajen de algún modo, por su propio peso, todos juntos, y luego vuelvan a subir por separado, cada uno impulsado hacia arriba con la velocidad adquirida en el descenso, ¿qué ocurrirá con el centro de gravedad del sistema? Huygens, excelente matemático, hacía un planteamiento muy general del problema, porque al decir “de algún modo”, aceptaba la posibilidad de que los cuerpos al bajar chocaran unos con otros, o se empujaran, o actuaran mutuamente en cualquier otra forma.

Ahora, se sabe que la distancia recorrida en cierta dirección por el centro de gravedad de un sistema de cuerpos como el mencionado, se determina sumando los productos de la masa de cada cuerpo por la distancia que él recorre en la dirección mencionada, y dividiendo este resultado entre la suma de las masas. Por otro lado, de acuerdo con los teoremas de Galileo, el recorrido de cada cuerpo pesado en su subida es proporcional al cuadrado de la velocidad adquirida por él al caer libremente (principio del cual, como sabemos, salió el teorema de Torricelli). Por tanto, Huygens concluyó que las velocidades de los diferentes cuerpos del sistema tienen que ser tales, que la suma de los productos de sus cuadrados por las masas respectivas resulte siempre la misma en cada instante, ya que el conjunto baje o suba.

Este importante principio parecía inicialmente un simple teorema de mecánica. Pero luego, Leibniz vio una especie de fuerza en el producto del cuadrado de la velocidad por la masa, y la llamó “fuerza viva”, ya que acompaña al cuerpo en su movimiento (se consideraba “fuerza muerta” las presiones, que actúan sin que ningún movimiento se produzca); y Johann Bernoulli reinterpretó el resultado de Huygens como la ley general de la naturaleza, según la cual la suma de las fuerzas vivas de  un conjunto de cuerpos se conserva siempre la misma, mientras dichos cuerpos actúen unos sobre otros por simples presiones; e igual a la que resulta de la acción de las fuerzas que mueven a los cuerpos mismos. Así nació el célebre principio de conservación de las fuerzas vivas.¹⁹

“Es increíble cuánta utilidad pude tener esta hipótesis en la filosofía mecánica”²⁰, escribe Daniel Bernoulli, quien, como hemos visto, empleó mucho este principio. El prefería la interpretación original de Huygens, que con símbolos modernos podemos explicar así: sean m_i (i=1,2,…n) las masas de los cuerpos, y_i los recorridos respectivos, V_i sus velocidades. Por definición, el recorrido y_o del centro de gravedad G es

                                                                        (1)

extendiéndose la suma de i=1 hasta i=n. Pero también se tiene que

                                                    (2)

Llamando al primer término de la fórmula 2 “descenso actual” (del centro de gravedad del sistema) y al segundo “ascenso potencial”, Daniel designaba el principio como igualdad ente descenso potencial y ascenso actual; y así lo aplicaba, calculando en cada caso, por un lado, el descenso potencial, por el otro, el ascenso actual, y luego igualándolos.

 Tomada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens

 Tomada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Constantijn_Huygens