La Caída de los graves

La hipótesis genial sobre la cual Galileo apoya su teoría de la caída de los cuerpos es que dicha caída tiende a producirse con aceleración constante. “Un cuerpo grave –dice Salviati en la tercera jornada de las Nuevas Ciencias – posee por naturaleza la propiedad intrínseca de dirigirse hacia el centro común de gravedad, o sea, hacia el centro de nuestro globo terrestre, con movimiento constante y uniformemente acelerado; es decir, que en tiempos iguales se hacen adiciones iguales de nuevos incrementos de velocidad. Es cierto que esta aceleración uniforme –agrega- puede modificarse por la resistencia del medio, que el cuerpo tiene que hender y desplazar hacia los lados para abrirse paso en su caída”. Sin embargo, “el ver que la resistencia del aire al poco peso de un globo es enorme, mientras que al gran peso del plomo es pequeñísima, me hace tener por seguro que, si el aire desapareciese del todo, ofreciendo así inmensas facilidades al avance del globo y muy pocas al del plomo, las velocidades respectivas llegarían a igualarse”¹. Con base en lo anterior, Galileo empieza a estudiar el movimiento naturalmente acelerado, como ocurriría en el vacío. Para eso establece una serie de teoremas, de los cuales recordamos los que más nos interesan².

Teorema I. El tiempo en que un móvil partiendo del reposo recorre cierto espacio con movimiento uniformemente acelerado es igual al tiempo que requeriría para recorrer el mismo espacio con movimiento uniforme, pero con velocidad mitad de la que adquiere al final de dicho movimiento acelerado.En síntesis, la demostración que Galileo da a este teorema es la siguiente. Sea AB el tiempo de recorrido: A el instante inicial, B el final y BE la velocidad final (fig. 19). Como la velocidad crece linealmente con el tiempo, las velocidades en los diferentes instantes se medirán por los segmentos llevados paralelamente a EB, empezando en la recta AB y terminando en la recta AE. Siendo la velocidad el espacio recorrido en la unidad de tiempo, el área del pequeño trapecio CMND medirá el espacio recorrido por el móvil en el tempúsculo CD; y el área del triangulo AEB medirá el espacio total recorrido. Tomemos ahora el punto medio F del segmento EB, y tracemos el rectángulo ABFG. Los segmentos AG, CH, DK paralelos a FB representan velocidades instantáneas de un movimiento uniforme con velocidad final EB alcanzada con movimiento acelerado; por tanto, el área del rectángulo ABFG representará el espacio total recorrido con movimiento uniforme. Pero la igualdad de los triángulos AIG y EIF, las áreas del triangulo ABE y del rectángulo ABFG son iguales, resultando también iguales los espacios recorridos en el tiempo AB en los dos movimientos, acelerado y uniforme.

Teorema II. Si un móvil partiendo del reposo avanza con movimiento uniformemente acelerado, los espacios recorridos por él en tiempos cualesquiera son proporcionales a los cuadrados de dichos tiempos.En efecto sea CH la velocidad final alcanzada en el tiempo AC; BE, la alcanzada en el tiempo AB (fig. 20). Los espacios recorridos en los tiempos mencionados se medirán por las áreas de los triángulos ACH, ABE, respectivamente. Pero, siendo dichos triángulos semejantes, sus áreas serán entre sí como los cuadrados de las alturas AC, AB; o sea, que los espacios serán entre sí como los cuadrados de los tiempos, según se quería demostrar.

Puesto que las diferencias de los cuadrados sucesivos son iguales a los subsiguientes números nones: 1 - 0 = 1, 4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5, etc., del teorema II se infiere como corolario que los espacios recorridos en tiempos iguales, tomados sucesivamente desde el comienzo del movimiento uniformemente acelerado, serán entre sí como los números nones 1, 3, 5, 7, …³

Refiriéndose ahora a la caída natural de los graves (movimiento naturalmente acelerado), Galileo pasa a considerar la caída sobre planos inclinados. Comienza con elTeorema III. Si un mismo móvil, a partir del reposo, baja sobre un plano inclinado y sobre otro vertical que cubran el mismo desnivel, los tiempos totales de descenso son proporcionales a las longitudes de los planos respectivos.En efecto, sean (fig. 21) AB el plano vertical, AC el inclinado. Siendo la misma la aceleración del móvil en dos puntos que estén al mismo nivel, como E y F, la velocidad alcanzada en dichos puntos será la misma; y en particular serán iguales las velocidades finales en B y C. Ahora, por el teorema I, los espacios AB, AC son los mismos que se cubrirán si el móvil avanzara durante el tiempo total de descenso con velocidad uniforme que sea mitad de la velocidad final. Pero, en movimiento uniforme, el tiempo es proporcional al espacio recorrido; de donde se deriva lo enunciado.

Teorema IV. Los tiempos de descenso sobre planos de igual longitud, pero de diferente inclinación, están en proporción inversa a las raíces cuadradas de los desniveles cubiertos por dichos planos.En efecto (fig. 22) sean BA y BC las longitudes, iguales entre sí, de los dos planos inclinados. Por el teorema III, los tiempos de descenso sobre BA y BE (proyección vertical de BA) están entre sí como BA:BE; los tiempos de descenso sobre BC y BD están entre sí como BC:BD=BA:BD. Indicando con t(BA) el tiempo requerido para recorrer BA y análogamente los demás, lo anterior puede escribirse

Teorema V. Los tiempos de descenso sobre planos de diferente inclinación y longitud son directamente proporcionales a las longitudes de los planos e inversamente a las raíces cuadradas de sus desniveles.Este teorema es consecuencia inmediata de los teoremas anteriores.

Teorema VI. Si en una circunferencia vertical se trazan cuerdas con extremo en el punto más alto (o el más bajo) de la circunferencia misma, los tiempos de descenso por dichas cuerdas son todos iguales entre sí.En efecto, sean AB el diámetro y AC una cuerda trazados por el punto más alto A de la circunferencia vertical ACB (fig. 23). Trazada por C la perpendicular CD al diámetro AB, resulta por semejanza de los triángulos ABC y CAD que AB:AC=AC:AD, de donde se obtiene que

relación que, comparada con la fórmula 1, permite concluir que t(AC)=t(AB). En otros términos, el tiempo de descenso por la cuerda AC es igual al tiempo de caída vertical de A a B; y el mismo será el tiempo de descenso por otra cuerda AE cualquiera. De donde resulta que t(AC)=t(AE), como afirma el teorema. Un razonamiento análogo llevaría a comprobar que también t(CB)=t(EB).

Todo lo anterior parece fuera de discusión; pero no era así para los contemporáneos de Galileo, quienes lo veían como una novedad absoluta. Dejemos a los peripatéticos, adversarios empedernidos, y veamos las objeciones de Descartes que, en esa carta a Mersenne de octubre de 1683 a la cual ya hicimos referencia {ver La fuerza del vacío},acusa a Galileo de haber construido sin fundamento por no proceder con orden: “Sin haber considerado las causas primeras de la naturaleza, solo ha buscado las razones de algunos efectos particulares”⁴.Concretamente, según Descartes, Galileo hubiera tenido que determinar primero lo que es la pesantez. Esto revela una actitud diametralmente opuesta en los dos investigadores. Galileo escribe: “No me parece esta la ocasión para entrar ahora a investigar la causa de la aceleración del movimiento natural, en torno a la cual los filósofos han emitido diversas opiniones… Sería interesante, aunque de poca utilidad, ir examinando todas estas fantasías. A nuestro autor le basta con que comprendamos que él quiere investigar y demostrar algunas propiedades de un movimiento acelerado, cualquiera que sea su causa…; y si nos encontramos con que las propiedades que serán demostradas luego se verifican en el movimiento de los graves naturalmente descendientes”, podremos concluir que tal movimiento es un caso particular de movimiento acelerado⁵.Actitud que nos parece absolutamente “moderna”, por el sencillo motivo de que nosotros seguimos considerando como método científico al de Galileo. Descartes por el contrario, con su actitud racionalista, se habría detenido en descubrir qué es la pesantez; y allí se hubiera quedado, porque esta cuestión, supuesto que tenga sentido, no ha sido aún resuelta.

La frase completa de Descartes es la siguiente: “Todo lo que él (Galileo) dice acerca de la velocidad de los cuerpos que descienden en el vacío, etc., esta edificado sin cimientos, por que él habría tenido que determinar antes lo que es pesantez, y si él supiese la verdad, sabría que en el vacío aquella es nula”. Y más adelante le reprocha que no demuestre, “y no es exactamente verdadero”, que las velocidades alcanzadas a un mismo nivel –como en los puntos E y F de la fig. 21- por un móvil que baja sobre dos planos diferentemente inclinados sean las mismas. “Y como todo lo que sigue no depende sino de estas dos suposiciones –concluye Descartes- se puede afirmar que él ha construido totalmente en el aire”. Aun siendo Descartes 32 años más joven que Galileo, su perspectiva es más anticuada. Mientras que en Galileo brilla con toda gallardía la claridad del Renacimiento, en el pensamiento cartesiano se manifiesta todavía una indeterminación entre lo que es la ciencia y lo que es metafísica, clara herencia de la Edad Media.

El problema del artillero

Menos de ocho años antes de que Cortés pusiera pie en México, en octubre de 1511, el papa Julio II –un anciano de largas barbas que se complacía en cabalgar a la cabeza de sus huestes- construyó, aliándose con Fernando el Católico y la República de Venecia, la Santa Liga con el objeto de expulsar de Italia a los franceses, momentáneamente dueños del ducado de Milán. Esta coalición efímera (si pensamos que en 1508 Francia y España luchaban juntos en contra de Venecia y que en 1513 franceses y venecianos serían cordiales aliados) llevó, sin embargo, a una blitzkrieg, cuya principal víctima fue naturalmente la población civil.

Penetradas en territorio véneto, el 19 de febrero de 1512 las tropas francesas al mando de Gastón de Foix irrumpieron en la tranquila ciudad de Brescia –la misma que 65 años después vería nacer al Padre Castelli- lanzándose a un saqueo desenfrenado. La gente corrió a encerrarse en la catedral; pero la soldadesca, tumbadas las puertas, penetro en ella. Entre las atrocidades que siguieron, se vio a un soldado agarrar a un vivaz niño de doce años, golpeándolo bárbaramente en la cabeza⁶. Curado tiernamente por su madre, el niño, Niccoló Fontana, pudo sobrevivir; sin embargo quedó un marcado defecto en su habla, por lo que fue apodado “il Tartaglia”, el Tartamudo. Se le conoció como Niccoló Tartaglia, con ese nombre firmó sus numerosas publicaciones.

Porque el muchacho, dotado de una inteligencia extraordinaria, se dedicó con todo éxito al estudio de las matemáticas; y lo hizo por su cuenta, porque la familia era pobre y no podía costearse sus estudios. Puesto que entonces, como ahora, las universidades no aceptaban entre sus académicos a quienes no hubiesen sido adoctrinados en escuelas superiores, Tartaglia se contentó con abrir su despacho de matemático, primero en Verona y luego en Venecia, donde consiguió una numerosa clientela. Primer algebrista del siglo, poseedor de enorme habilidad para realizar cálculos y resolver problemas difíciles y enredados cuya solución frecuentemente expresaba en versos, Tartaglia alcanzó una enorme celebridad, tanta que, para el pueblo, el Tartaglia llegó a personificar al matemático por excelencia, al Arquímedes, al Einstein de la época. Sus agradables facciones, su cara redonda, tranquila y afable, nos ha sido conservada en un retrato que aparece en la portada de su General trattato di númeri e misure.

En otra, la del libro Nova scienzia de 1537, dentro de un recinto cuya puerta está vigilada por Euclides, se ve a Tartaglia encabezando un numeroso grupo de figuras femeninas que representan todas las disciplinas de las matemáticas de entonces, ya sean puras o aplicadas, especificadas por sendos letreros.

Ahora bien, en 1531 llegó a consultar a Tartaglia un artillero, quien sabía por experiencia que los proyectiles no siguen una trayectoria rectilínea, como se acostumbra suponer entonces al apuntar el cañón, y le preguntó cómo debía inclinarse la pieza si se quería que la bala alcanzara la máxima distancia posible. Tartaglia estudió largamente el problema y publicó los resultados en Nova scienzia, cuya portada, además del autor y las damas antes mencionadas, muestra un cañón disparando y dos trayectorias, una horizontal rectilínea y otra oblicua y curva, de la bala. Como haría Galileo un siglo después, el autor empieza por tratar la caída natural de los graves, estableciendo que “en el movimiento natural todo cuerpo –a paridad de peso- va tanto más de prisa cuanto más se aleja del punto de partida, o cuanto más se acerca al de llegada de su movimiento”⁷. Pasa luego al estudio del “movimiento violento” o forzado, que según él sería, contrariamente al anterior, desacelerado: “un cuerpo –a paridad de peso– va tanto más lentamente cuando más se aleja del principio, o cuanto más se acerca al final del movimiento violento”. Pero, como todos los cuerpos “igualmente graves, semejantes e iguales” deberían alcanzar al final de su trayecto la misma velocidad, cualquiera que haya sido la que se les imprimió inicialmente, resultaría que “cuanto mayor es el espacio que el proyectil tiene que recorrer, tanto más de prisa irá al principio de su movimiento”⁸.

Tartaglia estudia luego las trayectorias, que considera constituidas por un tramo recto inicial, orientado como el eje del cañón, seguido por un tramo cóncavo y finalmente por un tramo rectilíneo vertical; y con un razonamiento algo tosco obtiene un resultado correcto: que la inclinación sobre el horizonte de la pieza que produce el máximo alcance es de 45º. Sin embargo, para determinar la forma real de las trayectorias utiliza una concepción falsa, o sea que “ningún cuerpo… puede durante ningún espacio de tiempo o de lugar avanzar con un movimiento compuesto de uno violento y uno natural”, por que si así lo hiciera, debería por ser el movimiento natural aumentar continuamente su velocidad, y por ser violento disminuirla incesantemente, posturas mutuamente incompatibles.

En la cuarta jornada de las Dos nuevas ciencias, Galileo, que conocía bien las obras de Tartaglia, vuelve a plantear el mismo problema, pero aceptando la hipótesis que este había descartado con demasiada prisa, o sea, que el movimiento del proyectil se compone de uno uniforme y otro acelerado. Semejante composición, “suponiendo –dice Sagredo- que el movimiento transversal se mantenga siempre uniforme y que análogamente el natural hacia abajo permanezca con su característica de ir siempre acelerándose en proporción con los cuadrados de los tiempos, y que tales movimientos y sus respectivas velocidades, al mezclarse, no se alteren, perturben o impidan”10, era por lo visto una novedad absoluta y fue la clave del éxito de Galileo allí donde sus predecesores habían fracasado. Ahora bien, la hipótesis de que en el movimiento horizontal los espacios recorridos son proporcionales a los tiempos y en el vertical proporcionales a los cuadrados de los tiempos mismos, lleva inmediatamente a concluir que la trayectoria resultante es parabólica. En efecto, utilizando notación algebraica y coordenadas cartesianas (fig. 24) –todo esto desconocido para Galileo–, si llamamos vo la velocidad impresa inicialmente al proyectil en dirección horizontal, x la “amplitud” del tiro, medida al nivel BH del horizonte, y y la “altura” de la pieza, tenemos

Prosigue Galileo demostrando una serie de propiedades de tales trayectorias e indicando cómo resolver varios problemas relativos. En particular, tabula en función de la “elevación” (o sea, del ángulo que la tangente HT a la curva formada con la horizontal HB) las alturas y “sumidades” de las diferentes parábolas (entendiéndose por sumidad el desnivel s= EA tal que el móvil, cayendo desde E con movimiento naturalmente acelerado, adquiriría en A una velocidad igual a la velocidad inicial vo). La sumidad representaría pues una energía de posición virtual, en cuanto que

Una propiedad importante de la trayectoria parabólica es que la mitad de la amplitud es media proporcional entre la altura y la sumidad. 11 en efecto, remplazando la ecuación 2 en la 1, resulta y = x2/4s, de donde

Imágenes obtenidas de: http://es.wikipedia.org/wiki/Tartaglia y http://www.omceoar.it/cgi-bin/docs/cisalpino/Il%20Cesalpino%2016.pdf

Proyectiles y chorros

Ustedes recordarán los dos libritos que con ansiedad y emoción el joven Torricelli había confiado al padre Castelli para que los sometiese al juicio del Gran Anciano {ver El último amigo}. Estaban escritos en latín. El primero, titulado De motu gravium naturaliter descendentium (Del movimiento de los graves que descienden naturalmente), contiene adiciones a la tercera jornada de las Dos nuevas ciencias; el segundo, titulado De motu proiectorum (Del movimiento de los proyectiles), complementa la cuarta jornada. Entre otras cosas, allí se encuentran interesantes construcciones gráficas. Por ejemplo, el problema de hallar la sumidad, dadas la amplitud y la altura de la trayectoria, se resuelve como sigue (fig. 25). Dispuestas la amplitud HB y la altura BA en ángulo recto, llévese AC=HB/2 perpendicularmente a AB y únase B con C. CE, perpendicular al segmento BC, corta la recta AB en el punto E tal que AE es la sumidad. Esto resulta de la semejanza de los triángulos ABC y ACE, que garantiza la proporcionalidad de los catetos

AB : AC = AC : AE

que es la relación 3 mencionada. Si se quiere por lo contrario resolver el problema, mucho más interesante para el artillero, de hallar la amplitud del tiro, dadas la altura AB y la energía del disparo (y luego la sumidad AE), basta con trazar el semicírculo BCE de diámetro BE, que cortará, sobre la normal a BE que parte del punto A, el segmento AC, igual a la mitad de la amplitud; esto con base en la propiedad del semicírculo, de inscribir ángulos rectos.

Lo más interesante para nosotros es que Torricelli agrega a De motu proiectorum una última parte de carácter hidráulico: De motu aquarum (Del movimiento de las aguas). “Ahora no será mal –escribe el autor- introducir algunas consideraciones acerca del agua. En efecto se que, a diferencia de los otros cuerpos sublunares, a las aguas se asocia un movimiento peculiar, de modo que casi nunca se quedan quietas. Dejo a un lado el gran movimiento fluctuante del mar; tampoco considero mediciones y usos de ríos y corrientes, de los cuales toda la doctrina fue hallada primero por mi maestro, el abad Benedetto Castelli. El dejó escrita su ciencia, que confirmó no solo teóricamente sino también por experimentos, de grandísima utilidad para príncipes y pueblos y mayor admiración de los filósofos. Queda su libro, verdaderamente excelente. En cuanto a nosotros, trataremos acerca de este tema tan solo unos detalles diminutos y por lo general sin utilidad, pero no del todo carentes de interés”¹².

Para introducir tales “diminutos y casi inútiles detalles”, Torricelli propone una hipótesis básica, a saber, que las aguas que desembocan violentamente de un pequeño orificio posean el mismo “ímpetu” que tendría un cuerpo pesado al caer naturalmente desde el nivel de la superficie libre del agua hasta el del orificio. Justifica esta hipótesis al considerar el fenómeno de los vasos comunicantes: si un caño vertical posee un orificio cerca de su base y este se conecta con otro tubo análogo pero vacío, el agua que baja del primer tubo tiene energía suficiente para subir en el segundo hasta alcanzar el mismo nivel. Luego describe un experimento realizado en un tubo AB, haciendo que el orificio B lance el agua hacia arriba (fig. 26). Si el caño esta lleno hasta A, el chorro alcanza “casi” el mismo nivel, D. Resulta una pequeña diferencia, CD, que Torricelli atribuye “en parte al impedimento del aire, que se opone a cualquier cuerpo móvil, y en parte también a la misma agua que, cuando desde la cumbre C emprende el camino de regreso, se obstaculiza y retarda a su parte ascendiente, no permitiendo que las gotas que suben puedan elevarse hasta ese nivel que alcanzaron por su propio ímpetu”¹³.Como comprobación, sugiere que se tape por un instante el orificio con el dedo, retirándolo luego lo más rápido posible: se verá que las primeras gotas emitidas subirán más arriba del nivel C. Finalmente agrega que un buen observador notaría que el aire que rodea el chorro se agita y tiende a levantarse, “transporte que no se realiza sin fuerza y, por tanto, estorbando el movimiento de subida del agua”; o sea, dicho en términos actuales, el chorro debe de perder algo de energía cinética, en cuanto que la gasta para arrastrar el aire circundante. Luego de algunas otras consideraciones, Torricelli concluye: “por lo demás, si alguien no esta de acuerdo con los argumentos anteriores, que vea si puede comprobar algunas de las proposiciones que siguen: porque si será así, resultará fácil demostrar nuestra hipótesis básica a partir de la proposición comprobada. En caso contrario, que omita todo este apéndice sobre el movimiento de las aguas, o bien que de plano lo arranque del libro; se lo concedo con gusto, a pesar de que un experimento realizado con toda diligencia haya confirmado con gran exactitud buena parte de las proposiciones siguientes”¹⁴.

Volviendo a la fig. 26, Torricelli empieza a observar que el chorro, al bajar, caerá en E con el mismo “ímpetu” que poseía en B al salir del orificio, o sea, con el de un grave que caiga desde A hasta B, En seguida, pasa a considerar orificios hechos en la pared de un caño vertical, afirmando que los chorros que salen de ellos deben de tener forma parabólica. En efecto, las primeras gotas que salen tienen que comportarse como los proyectiles estudiados por Galileo, y las que siguen, siendo emitidas con el mismo “ímpetu”, ya que el caño se supone siempre lleno, recorrerán el mismo camino.

Esto lo lleva a resolver una serie de problemas. Por ejemplo (fig. 27), si el caño AB está lleno hasta A, el trazo de la semicircunferencia AIB permite, gracias a la construcción de la fig. 25, determinar la amplitud BG del chorro emitido por un orificio ubicado en un punto C cualquiera: en efecto, BG=2CH. Además, resulta evidente qu el chorro proveniente del punto E tal que EA=CB tendrá la misma amplitud BG, por ser EK=CH=GB/2. Finalmente, el chorro que llegará más lejos será el que sale del punto D, medio entre A y B, por ser allí la semiamplitud DI máxima¹⁵.

Otro resultado interesante es que si un tubo AB (fig. 28) se perfora en un punto C cualquiera, el chorro emitido tocará la superficie de un cono rectangular (o sea, de 90º de abertura) con generatriz AE, eje AB y vértice A. En efecto, tómese un punto D tal que CD=CA, y por el punto D trácese la horizontal DE. Siendo AC la “sumidad”, y luego

CD:DE/2 = DE/2:AC

O sea, por ser CD=AC,

AC:DE/2 = DE/2:AC

resulta que DE=2AC=AD. Ahora, es propiedad de la parábola que si E es uno de los puntos y EA la tangente relativa, y bajamos desde E la perpendicular ED al eje de la parábola, la “subtangente” AD es igual al segmento ED. Por tanto, la conclusión de que DE=AD garantiza la tangencia en E de la parábola con el cono¹⁶. Es evidente la utilidad de los resultados anteriores cuando se quiere trazar el perfil del chorro.

Finalmente se llega al que conocemos comoprincipio de Torricelli, a saber, que las velocidades del agua que sale de un tanque perforado son proporcionales a la raíz cuadrada de las profundidades por debajo de la superficie libre de los orificios correspondientes¹⁷.Torricelli deduce este resultado de los teoremas de Galileo. En efecto, como en un movimiento naturalmente acelerado la velocidad es proporcional al tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento, y el espacio recorrido es proporcional al cuadrado del mismo tiempo, la velocidad de salida será proporcional a la raíz cuadrada del espacio recorrido por una partícula en su bajada, o sea, a la raíz del desnivel entre la superficie libre y el orificio. Por otro lado, el gasto (cantidad de fluido que pasa en un tiempo determinado) descargado por un orificio, o por orificios iguales, es proporcional a la velocidad de salida, como Castelli ya había puesto en claro; por tanto, también los gastos serán proporcionales a las raíces cuadradas de los tirantes de agua que el orificio tiene encima. Medir el gasto no es difícil: basta con determinar el tiempo en que el chorro llena un recipiente de capacidad conocida, y dividir esta última entre el tiempo mismo; así fue como Torricelli, con la ayuda de Magiotti, logró comprobar experimentalmente la validez de su principio.

Una vez abandonado el orificio, el chorro sigue acelerándose; por tanto, debe irse angostando a medida que baja. Una pregunta interesante que Torricelli se plantea es la siguiente: ¿qué forma adquirirá el contorno del chorro?. Sean (fig. 29) AB el depósito, CD el orificio, CDPO el chorro. Siendo que el gasto a través de CD y de otra sección OP cualquiera del chorro es el mismo, las áreas de dichas secciones tienen que ser inversamente proporcionales a las velocidades respectivas. Pero la velocidad en OP es la velocidad en CD como √HF es a √IF, mientras que las áreas están entre sí como OP² : CD². Luego se tiene

OP⁴ : CD⁴ = IF :HF

La superficie CDPO es, por tanto, una superficie de revolución cuya generatriz es una curva de abscisas proporcionales a las raíces cuartas de las ordenadas (hipérbola de 4° orden).

Imágen obtenida de: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.geocities.com/jdazconejo/4304.GIF&imgrefurl=http://www.geocities.com/jdazconejo/43.html&h=479&w=639&sz=24&hl=es&start=9&um=1&tbnid=02L-JtrwFw7huM:&tbnh=103&tbnw=137&prev=/images%3Fq%3Dprincipio%2Bde%2Btorricelli%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN

Ciencia y salchichas

Evangelista Torricelli falleció prematuramente el 25 de octubre de 1647, a los 39 años (la misma edad a la que moriría Pascal), llevando consigo el secreto de los fabulosos lentes para catalejos y microscopios que solo él sabía fabricar. Pero además, dejo la mayor parte de sus obras sin imprimir. En momentos de lucidez que su repentina enfermedad le había consentido, había pedido a su entrañable amigo, el abogado Ludovico Serenai, que remitiera todos sus manuscritos a fray Bonaventura Cavalieri (también exalumno de Castelli), quien ahora enseñaba en Bolonia: que Cavalieri publicase lo que quisiera y enviase lo demás a Michelángelo Ricci, en Roma, para que este se responsabilizara de su impresión. El gran duque Ferdinando prometió costear la publicación.

Cuando Serenai escribió a Cavalieri, otro fraile le contestó, comunicándole que el gran matemático, inventor de la entonces célebre teoría de los indivisibles, que anticipaba el cálculo diferencial, se hallaba gravemente enfermo; de hecho, Cavalieri pereció un mes más tarde. Luego Serenai se dirige a Ricci, pero este rehusó el encargo: había disminuido su interés por las matemáticas, su tío había muerto, su padre era muy anciano y Ricci tenía que atender todos los asuntos de la casa; además, desde el principio de año andaba delicado de salud¹⁸. ¿Qué hacer? A Serenai se le presentaba un problema grave: le habían confiado un manuscrito desordenado, a veces dejados a medias, que contenían abreviaciones y símbolos; tan solo un buen matemático podría prepararlos para la edición. Se acordó de Viviani, el compañero de Torricelli en Arcetri, y fue a verlo, “rogándole que se sirviera ocupar de la obras geométricas dejadas en confusión e inacabadas por el amigo común”, sin embargo, también Viviani se excusaba, diciendo que sus obligaciones públicas y privadas no le dejaban tiempo para nada más.

Serenai, desesperado, siguió insistiendo y haciendo que otros también intercedieran. Por fin Vivivani asintió, pero con una condición: que no le entregasen los manuscritos mismos, sino copias de ellos; declarando “nunca querer manipular ni una mínima hojita de los originales de Torricelli, aunque estuvieran numeradas, y tampoco servirse de ellas ni mucho ni poco por ningún tiempo: que tan solo quería copias exactas con las figuras hoja por hoja”¹⁹. Hoy en día esto no crearía problemas: se sacan fotocopias y ya; pero en ese entonces todo se debía transcribir a mano. Tratándose de miles de páginas de escritos matemáticos, la exigencia de Viviani da la impresión de que, para quitarse el fastidio, pedía algo imposible. Mas he aquí que el bueno de Serenai lo toma en serio y empieza la tarea él mismo. Durante cuatro años estuvo dedicando sus ratos libres a copiar esa caterva de proposiciones, escolios, lemas, teoremas y corolarios, de los cuales, como buen jurisconsulto, no entendía ni pizca. Feliz, terminada la tarea, entregó todo a Viviani, convencido de que, antes de cerrar los ojos para siempre, tendría en sus manos las obras del amigo, publicadas a costa del serenísimo gran duque.

Pero al fallecer Serenai, a principios de 1685, casi nada se había hecho. Solo se supo que los originales, después de algunos años, habían llegado por último a manos de Viviani, quien al fin los aceptó. Viviani murió en 1703, y desde entonces se les perdió la pista; los escritos de Torricelli se volvieron leyenda; todos hablaban de los inventos maravillosos, extraordinarios, que debían estar contenidos en ello; mas nadie los había visto. Pasa otro medio siglo. Un buen día Clemente Nelli, vecino de Florencia no del todo ayuno en matemáticas, va de compras a la salchichonería, donde le envuelven la mortadela en una hoja escrita: llegando a su casa, reconoce que es de puño y letra de Galileo. Regresa corriendo a la tienda; allí el dueño le muestra más hojas, estas escritas por Torricelli. Nelly compra todo; luego le pregunta quién se las había vendido: los hermanos Panzanini. Otra carrera a la casa de estos: ¿dónde está lo demás? ¿les queda algo? Sí, felizmente les queda casi todo. Carlo y Ángelo cuentan la historia: que todos esos papeles los habían recibido en herencia del tío Jácopo, abad y profesor de matemáticas, quien a su vez los había tenido de su propio tío Vincenzo Viviani; que cada uno había guardado su parte en el armario de la casa, allí donde se tenía la ropa blanca; pero que los armarios estaban llenos a reventar, y que las señoras se habían aliado en contra de ello: ¿cómo, allí donde estaba esa linda lencería que ellas habían traído como dote, dejar esos papeles sucios cubiertos de garabatos que nadie entendía? Que los hicieran desaparecer inmediatamente. Felizmente el amigo salchichonero, a quien habían confiado sus penas, había prometido comprarles poco a poco; pero si el señor Nelly quería todo el lote, ellos estaban más que felices de vendérselo.

Poseedor del invaluable tesoro que la suerte le había deparado, Nelly decidió realizar él mismo la tan deseada edición de las obras inéditas de Torricelli; pero tampoco a él le basto lo que le quedaba de vida para hacerlo. Sus herederos, por necesitar dinero, vendieron en 1818 todos los manuscritos al gran duque de entonces, Fedinando III. Al desaparecer el gran ducado, en 1861, estos pasaron a la Biblioteca Nacional de Florencia, donde entraron a formar parte de una importante colección que reúne los escritos de los discípulos de Galileo²⁰.

Y entre tantas vicisitudes, ¿qué pasó con De motu aquarum? Felizmente parece que la pequeña obra, conservada por la escuela de Castelli, había logrado circular en copias manuscritas entre los hidráulicos de la época. Como vimos, sus pocas páginas contenían el principio fundamental de trasformación de una carga de altura en velocidad, principio fundamental que inspiró y sobre el cual se construyó toda la ciencia del movimiento del agua.

Imágenes obtenidas de: http://en.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Viviani ; http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cavalieri.html ; http://www.learn-math.info/mathematicians/spanish/historyDetail.htm?id=Torricelli

Demostración del teorema de Torricelli

Entre Torricelli y los franceses habían surgido algunos malentendidos. No solo porque con el barómetro Pascal había adquirido mucho más fama que Toricelli mismo; sino también por el célebre pleito de la cicloide. Se llama cicloide la curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta, sin perder contacto con ella y sin deslizarse. Según los italianos, dicha curva había sido inventada en 1599 por Galileo, que hubiera deseado utilizarla para trazar el perfil del arco único de un nuevo puente que debía cruzar el río Arno en Pisa; para los franceses la cicloide, que ellos llamaban trocoide, la había concebido Mersenne en 1615. Galileo sospechaba, pero ni él ni Cavalieri habían podido comprobar, que el área comprendida entre la cicloide y su recta base era el triple del área del círculo generador.

Torricelli, sin disponer todavía de la comodidad del cálculo integral tal como hoy lo conocemos, había logrado demostrar teóricamente esta propiedad de una manera sumamente sencilla; sin embargo en Francia se aseguraba que dicha cuadratura la había obtenido primero Roberval. Los italianos sospechaban de Mersenne, que conocía los resultados de Torricelli; debía de ser él quien había comunicado, sin ninguna precaución, a sus colegas lo que Torricelli le había participado confidencialmente, facilitando la apropiación. La sospecha había indignado a Roberval; y de hecho hubo un violento intercambio de acusaciones mutuas al respecto entre Torricelli y Roberval²¹.

A residuos de esa tensión se debe tal vez la rudeza con que, allá por 1695, Pierre Varignon criticaba a Torricelli frente a la Academia de Ciencias de París, acusándolo de falta de rigor en la comprobación de su teorema hidráulico fundamental. “La demostración que dio Torricelli –escribía Varignon- depende de la experiencia, que ha permitido observar que los chorros de agua alcanzan poco más o menos la misma altura de la cual han bajado. Pero no siendo esta sino una experiencia, que por tanto no habla sino a los sentidos y no basta para una demostración geométrica, el mismo Torricelli le hace tan poco caso a la comprobación obtenida, que la abandona de buena fe a la discreción del lector… Esta falta de confianza de Torricelli en su propia demostración nos ofrece la oportunidad de observar de paso que los experimentos, en cuanto hacen depender demasiado fácilmente los hechos de los sentidos, en la física auténtica no tienen que servir sino para hacer presumir una verdad; no para remplazar una demostración exacta y geométrica”²².

Luego Varignon expone su propia demostración del hecho de que las velocidades del agua que sale de un orificio están entre sí como las raíces cuadradas de las alturas (o tirantes) de agua sobre el orificio mismo. La demostración consiste esencialmente en lo siguiente (fig. 30). Se sabe que los “esfuerzos” (presiones) producidos por las dos masas de agua AF y CF están entre sí como las alturas AK, CH. Llamaos f1, f2 dichos esfuerzos, será

f₁:f₂ = AK : CH (1)

Por otra parte, las “masas” m₁, m₂ correspondientes que salen del orificio G en un tiempo determinado están entre sí como las velocidades v₁, v₂ de la salida relativas, m₁:m₂ = v₁:v₂; de donde m₁v₂ = m₂v₁, y multiplicando por v₁v₂,

m₁v₁v₂² = m₂v₂v₁²

de donde

m₁v₁ : m₂v₂= v₁² : v₂² (2)

Así mismo, el principio de cantidad de movimiento expresa que

m₁v₁ : m₂ v₂ = f₁ : f₂

De aquí, utilizando las proporciones 1 y 2, resulta que

v₁² : v₂² = AK : CH

que es lo que se quería demostrar²³. Naturalmente, el argumento lleva implícito admitir que el movimiento que la presencia de desagüe provoca en el agua contenida en el depósito es sumamente pequeño y sensiblemente uniforme para todas sus partículas, no produciéndose ninguna aceleración; hipótesis prácticamente válida si se supone la sección del depósito muy grande en comparación con la del orificio.

Varignon no era un investigador muy notable, pero sí un maestro de primera. La gran novedad de sus clases de mecánica era la utilización de fórmulas algebraicas en las demostraciones. Vale la pena reproducir aquí unas consideraciones del abad Pujol, el alumno que reunió los apuntes de clase de Varignon y los publicó en 1725, tres años después de la muerte del autor, bajo el título Traite du mouvement et de la mesure des eaux coulantes et jaillissantes (Tratado del movimiento y de la medición de las aguas que escuren y brotan): “Sabios persuadidos de la utilidad de esta materia se dedicaron a explicarla. Pero algunos se contentaban con relatar la experiencias sin dar demostraciones; otros, queriendo comprobar principios tan necesarios, lo hacían por pura geometría; y habiéndose dificultado y complicado enormemente sus demostraciones por el gran número de líneas requeridas por la imaginación, se distraía demasiado la atención, exponiéndola a perder de vista el objeto esencial de la investigación. Además, como la geometría no suministra comprobaciones totalmente generales, se veían en consecuencia forzados a buscar casi tantas nuevas demostraciones cuantos eran los casos particulares considerados. Es para evitar tales inconvenientes que en casi todas las demostraciones del presente tratado se ha utilizado el cálculo algebraico; lo cual se ha hecho porque este procedimiento saca grandes ventajas con respecto al otro. En efecto, las demostraciones algebraicas son incomparablemente más fáciles, no requieren gran concentración y a veces no se necesitan sino dos o tres rasgos de pluma para volverlas a obtener. Además el álgebra proporciona comprobaciones generales, de las cuales se deducen fácilmente por medio de corolarios todos los casos particulares que, de utilizarse la geometría, requerirá a su vez nuevas demostraciones, por tanto nuevas líneas y figuras. Esta ventaja del álgebra sobre la geometría es tan considerable que, como se verá, todo el contenido de este tratado se ha deducido de una o dos proposiciones solamente”²⁴.Y ¿cuáles son estas proposiciones básicas? Son que, si el cuerpo se halla en movimiento uniforme, los productos vt/l, ft/m1 y mv/f se mantienen constantes durante todo el trayecto, siendo f la fuerza aplicada al cuerpo, m su masa, v su velocidad, l el espacio recorrido y t el tiempo empleado en recorrerlo. Cómo Varignon utiliza la última proposición lo hemos visto en la demostración anterior.

Efectivamente, el tratado de Varignon tuvo gran éxito y debió ser adoptado como texto de enseñanza durante muchas décadas. “El libro –escribía en 1793 Ludovico Riva, profesor de astronomía en el Estudio de Padua, refiriéndose a la traducción italiana en 1736- … gracias a su presentación elemental lo buscan y estudian muchos jóvenes, atraídos por la importancia de la materia y celebridad del autor”²⁵. Pero, ¿era inobjetable la demostración del principio de Torricelli que Varignon había dado? Alrededor del año 1780, al redactar su Mecánique analytique que se publicó luego en 1788, Lagrange opinaba que tal demostración “contiene todavía algo vago, porque supone tácitamente que la pequeña masa que sale a cada instante del vaso adquiere bruscamente su velocidad total por la presión de la columna de agua que está encima. Ahora, se sabe que una presión no puede crear de repente una velocidad finita. Pero suponiendo, como es natural, que el peso de la columna actúe sobre la partícula durante todo el tiempo que ella invierte en salir del vaso, resulta claro que la partícula adquirirá un movimiento acelerado, siendo la correspondiente cantidad de movimiento, al final de cualquier intervalo de tiempo, proporcional al producto de la presión por el tiempo. Por tanto, el producto del peso de la columna por el tiempo de salida de la partícula será igual al producto de la masa de dicha partícula por la velocidad que ella habría adquirido; y como la masa es el producto del área del orificio por el pequeño espacio que la partícula recorre al salir del depósito (espacio que, por característica de los movimientos uniformemente acelerados, es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo), se sigue que la altura de la columna volverá a resultar proporcional al cuadrado de la velocidad adquirida. Esta conclusión es ahora rigorosa, siempre que se admita que cada partícula al dejar el depósito, sea empujada por todo el peso de la columna fluida que tiene como base a dicha partícula, lo que se verificaría efectivamente si el fluido contenido en el depósito estuviera estancado”²⁶.De hecho, la fórmula mv/f=constante adoptada por Varignon era incorrecta, y con toda razón Lagrange proponía cambiarla por la otra, mv/ft=constante.

Imagen obtenida de: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Varignon.html

La catarata

En el segundo libro de sus celebres Principia, editados en Londres en 1686, Isaac Newton anota: “Esta comprobado experimentalmente que la cantidad de agua que sale en un tiempo determinado por un orificio circular practicado en el fondo de un tanque es igual a la cantidad que, escurriendo libremente con la misma velocidad, pasaría en el mismo tiempo a través de otro orificio circular, cuyo diámetro esté en la razón de 21 a 25 con el diámetro anterior. Por tanto el agua corriente, al cruzar el primer orificio, tiene una velocidad hacia abajo poco más o menos igual a la que adquiriría un cuerpo pesado al caer de una altura equivalente a la mitad de la del agua estancada en el tanque”²⁷.O sea, al parecer Newton, u otra persona, había medido el gasto por el orifico circular practicado en el fondo de un tanque bajo cierto tirante de agua, y luego había medido el diámetro de otro orificio por el cual pasaba el mismo gasto de agua, pero cayendo libremente desde la misma altura; evidentemente, con el objeto de comprobar la hipótesis de Torricelli de que la velocidad adquirida en las dos condiciones es la misma. Mas si eso hubiese sido cierto, los dos diámetros hubieran tenido que ser iguales, mientras que por lo contrario resultaron en proporción de 25 a 21. Por supuesto, el segundo experimento es sumamente difícil de ejecutar con precisión; pero no hay motivo para dudar de la afirmación de Newton: de alguna manera lo habrá realizado. Ahora, si los diámetros de los dos orificios están en la razón 25:21, las secciones están en la razón 25²:21²=1.41=√2.Siendo los gastos iguales, las velocidades al cruzar los orificios estarían luego en la razón 1=√2. Por tanto, para obtener la segunda velocidad en el orificio del tanque simplemente subiendo el nivel del agua en este, se hubiera necesitado duplicar el tirante; que es exactamente lo que Newton afirma al decir que la misma velocidad que resulta en el desagüe del tanque se obtendría con una caída libre de altura equivalente a la mitad de la carga en el tanque mismo.

Buen matemático, Newton quiso naturalmente comprobar el resultado, como decía Varignon, “con una demostración exacta y geométrica”. En la demostración, Newton se proponía comparar las cantidades de movimiento del agua al salir del tanque y al caer en el vacío (en ese entonces ya nadie tenía escrúpulo al imaginar la existencia de espacios totalmente vacíos); pero cometió un error. No he podido consultar la primera edición de los Principia; mas parece que, mientras la velocidad acelerada de salida del chorro de desagüe la transformó en uniforme asociándola, por el primer teorema de Galileo, con un recorrido doble del tirante, no hizo lo mismo para la velocidad, igualmente acelerada, del chorro en caída libre28; y así es natural que le volviera a salir la razón 1:√2. Que más tarde se haya dado cuenta de la equivocación, resulta del hecho de que en la segunda edición, de 1713, la demostración fue suprimida. Además, allí Newton aceptó como válida la hipótesis de Torricelli, materializándola con la introducción de la que llamó “catarata”.

“Catarata” sería una columna de agua en caída libre, cuya forma el mismo Torricelli había determinado al considerar la variación de los diámetros de sus secciones horizontales con la profundidad, en el chorro de desagüe CDPO (fig. 29) {véase Proyectiles y chorros}. Ahora bien, a Newton se le ocurrió imaginar a la catarata prolongada por arriba del orificio, dentro del agua contenida en el tanque. Siendo que, como había demostrado Torricelli, los diámetros de sus secciones horizontales varían en razón inversa de la raíz cuarta de sus profundidades con respecto a la superficie libre, en correspondencia a esta superficie, siendo la profundidad cero, el diámetro resultaría infinitamente grande. Esto origina una dificultad que Newton intentó salvar con el artificio del hielo.

Sea –decía Newton ACDB un tanque cilíndrico (fig. 31) en cuyo fondo horizontal CD esté un orificio circular EF. Sea G el centro del orificio, GH el eje del tanque lleno de agua hasta AB, y que encima tenga un cilindro APQB de hielo, con los mismos diámetros y eje, que baje continuamente por su propio peso con movimiento uniforme, disolviéndose el hielo en agua en cuanto esté en contacto con la superficie AB. En AB no se tendrá por tanto una velocidad nula, sino la velocidad de descenso del cilindro de hielo, misma que se supondrá tal que el diámetro de la catarata ABNFEM sea allí precisamente igual al ancho AB. Por debajo, la catarata se irá cerrando, hasta alcanzar en el fondo el ancho EF del orificio, y esto lo hará, como sabemos, reduciendo sus diámetros en proporción inversa de las raíces cuartas de sus profundidades con respecto al nivel KL del plano virtual donde la velocidad de bajada sería nula y el diámetro infinito²⁹. Un detalle que Newton no señala, pero que conviene destacar, es que, al fijarse el ancho de la catarata en la superficie y en el fondo, queda implícitamente definida la altura AC.

Newton cree que se produce una bajada del agua en el tanque, y que su movimiento, si bien no es precisamente el de la catarata, en algo se le parece. “Imagínese –dice- que toda la cavidad del tanque que rodea al agua ABNFEM que cae (o sea la región AMEC, BNFD) esté llena de hielo, de tal modo que el agua pueda avanzar a través del hielo como por un embudo. Entonces, ya sea que el agua pase muy cerca del hielo sin tocarlo, ya sea que, por la perfecta lisura de la superficie helada, el agua, aun tocándola, deslice sobre ella con toda libertad y sin encontrar la mínima resistencia, de todos modos el agua pasará a través del orificio EF con la misma velocidad de antes, y el peso total de la columna ABNFEM podrá como antes considerarse causa de la expulsión del agua… Supongamos ahora que el hielo contenido en el tanque se disuelve en agua: la descarga, en cuanto a velocidad, quedará la misma que antes. No será menor, porque el hielo ahora disuelto se esforzará en bajar; y tampoco será mayor, porque el hielo transformado en agua no puede descender sin impedir la bajada de una cantidad igual de agua”³⁰. Esta última frase pone en claro la renuncia de Newton a suponer una ley de variación de las velocidades de bajada diferente de la de la catarata; efectivamente, hielo derretido y agua podrían muy bien bajar juntos, con tal de que aumenten convenientemente su velocidad de descenso.

Si, por ejemplo, Newton hubiese visualizado el movimiento del agua contenida en el tanque, echando algo de colorante sobre la superficie del agua, y hubiese seguido el recorrido de este, se habría percatado de que su llegada a la salida es extremadamente lenta, y en nada comparable con la velocidad del chorro. Una caída real de las partículas fluidas desde la superficie hasta el orificio no se produce. Torricelli había evitado esta consideración, con un planteamiento energético de gran porvenir: el chorro posee, al salir, el mismo ímpetu (o sea la misma energía) que tendría un cuerpo pesado luego de caer de una altura igual al tirante de agua en el tanque. Es decir, que cerca del orificio se produce una transformación brusca de energía: la energía de posición del agua quieta se transforma en el chorro en energía cinética: pero el chorro, al concluir su subida y perder así su velocidad, puede recuperar energía de posición y alcanzar el nivel original del agua quieta. Newton evidentemente no aprovechó la idea, y prefirió interpretar el movimiento del chorro como prosecución de uno existente dentro del tanque.

No hay que creer que Newton fue el único en suponer una caída efectiva del agua desde la superficie hasta el orificio. También así pensaba su contemporáneo Doménico Guglielmini: para interpretar la observación del colega francés Edme Mariotte de que, al destaparse el orificio de repente, las primeras gotas salen con una velocidad muy inferior a la que adquirirá luego el chorro una vez conformado, consideraba que el chorro alcanzaba su régimen normal solo en el momento en que el agua que inicialmente estaba en la superficie llega al fondo³¹. Además. La autoridad de Newton era tanta que muchos siguieron creyendo en la existencia real de esa catarata que para él había sido solo una hipótesis de trabajo. Así, como veremos más adelante, hacía Jurin en 1722. Todavía allá por 1755 Antonio Lorgna, apreciado hidráulico italiano, coronel del cuerpo militar de ingenieros y miembro de las Academias de Berlín y San Petersburgo, pretendía, con gran escándalo de Ventura, que la contracción que el chorro sufre a poca distancia del orificio no era otra cosa sino la continuación de la catarata newtoniana³².

Tal vez define bien el punto de vista de estos partidarios de la catarata el comentario escrito en 1741 por Bernardino Zendrini, matemático de la serenísima república de Venecia: “Siendo que no veo que dicha catarata implique en su naturaleza ningún absurdo, y que más bien por el contrario observo que suponiéndola se explican muchos fenómenos que se producen en la bajada del agua en depósitos abiertos por un orificio; y que el ojo y la razón la hacen también, por así decir, palpar con la mano [aun no reconociéndola efectivamente dentro del depósito] al observarla en su salida en el estrecharse manifiesto de la vena del agua al descender, … no puedo entender cómo no se pueda o deba aceptar que la vena misma continúa también dentro del depósito así como aparece afuera, formando el embudo, o sea la catarata en disputa”³³.

Tampoco faltaron oposiciones francas a la catarata. El médico Pietro Antonio Michelotti, en su libro De separatione fluidorum in corpore animali (De la separación de los fluidos en el cuerpo animal), insistía en que no hay ninguna necesidad de acudir a una explicación tan complicada cuando bastaría con pensar en un efecto de pistón. Considérese, decía él, el depósito ABCD, con orificio en O, que descargue con la velocidad inducida por el tirante de agua AC (fig. 32). Supóngase luego que el volumen de agua ABnm se remplace por un sólido que tenga la misma densidad del agua dejando de esta tan solo la capita muy delgada mnDC; y que el sólido mencionado esté en condiciones de bajar deslizándose, sin experimentar fricción con la pared. ¿No seguirá el orificio descargando el mismo gasto que antes?³⁴

Pero la objeción más demoledora en contra de la catarata la propuso en 1716 una mente aguda, el principal matemático del momento: Johann Bernoulli. Su argumento era el siguiente: aceptemos con Newton que dentro de la catarata toda pequeña tajada horizontal de agua baje por su propio peso. Entonces, las tajadas que al bajar quedan en contacto mutuo no tienen que ejercer ninguna fuerza la una sobre la otra, y por consiguiente en todo el interior de la catarata no habrá ninguna presión interna. Supongamos ahora que la pared de la catarata, AME – BNF (fig. 31), sea rígida; si la perforamos y le conectamos por el lado exterior un tubo vertical (piezómetro), nada del agua de la catarata podría entrar en él, debido justamente a la mencionada ausencia de presión. Pero externamente a la pared hay agua estancada, que ejerce una presión estática proporcional a su desnivel con respecto a la superficie libre. La pared ficticia representaría pues la frontera que separa una zona sin presión de otra que sí la tiene; por tanto, el agua exterior, empujada por ella, debería precipitarse al interior de la catarata y mezclarse con el agua que en ella escurre. La catarata no podría así conservar su forma ni un instante³⁵.

Imagenes obtenidas de: http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton ; http://es.wikipedia.org/wiki/Edme_Mariotte

La contracción del chorro

Newton había hallado que el gasto evacuado por un orificio bajo cierta altura de agua es igual al que pasaría por un orificio de diámetro 21/25 del anterior si se tratara de agua que cae libremente de la misma altura. Su primera suposición había sido que la hipótesis de Torricelli era falsa, pero luego se dio cuenta de que no lo era. ¿De dónde, pues, provenía esa diferencia de diámetros? Intrigado, Newton se puso a observar más detenidamente el chorro, y vio que este no conserva el ancho del orificio del cual proviene, sino que a poca distancia sufre una contracción, cuyo diámetro estimó que estaba al del orificio en la razón de 5:6 ó de 5 ½ : 6 ½ aproximadamente (fig. 33) ¿Podría ese hecho ofrecer la explicación buscada, en el sentido de que en la contracción estuviese el “diámetro verdadero” del chorro? Para explicarnos mejor, podría ser –y esto pensó Newton- que el agua cerca de las orillas del orificio salga en dirección oblicua, convergiendo hacia el eje de la vena fluida. En tales condiciones, el gasto a través del orificio resultaría menor que si el escurrimiento fuese paralelo al eje, como en la sección contraída, en el cual el diámetro mínimo asegura una velocidad media máxima que podría ser la verdadera velocidad de desagüe.

Pero había otra posibilidad: como la sección contraída se encuentra ligeramente por debajo del orificio, para que esta aparezca el agua tiene que descender un poco; a este descenso puede asociarse una aceleración, la que a su vez podría ser la causa de la contracción. “Conseguí –explica entonces Newton- una placa delgada en la que se había hecho un agujero circular en el centro, siendo su diámetro 5/8 de pulgada. Y par que la corriente de agua no se acelerase al caer y se angostase por la aceleración, fijé la placa no en el fondo, sino a un lado del tanque, forzando así al agua a salir en dirección horizontal. Luego, cuando el depósito estuvo lleno de agua, abrí el orificio para dejarla salir; y el diámetro del chorro, medido con gran esmero a la distancia de media pulgada, aproximadamente, del agujero, era 21/40 de pulgada. Por tanto, el diámetro del orificio era al diámetro del chorro, con buena aproximación, como 25:21”³⁶. He aquí que aparece de nuevo la razón de antes, aunque ahora sea excluir todo efecto de aceleración; se puede pues concluir, y así lo hizo Newton, que, para que la hipótesis de Torricelli se cumpla, hay que tomar como diámetro real del chorro no el del orificio, sino el de la vena contraída.

La velocidad del agua al dejar el orificio es el espacio que ella recorre perpendicularmente al orificio mismo en un segundo; el gasto es el volumen que sale en un segundo, es decir, el de un cilindro que tiene por base el orificio y por altura el espacio recorrido en un segundo; así, el gasto debería ser el producto de la velocidad por el área del orificio, siempre que este fuese cruzado por el agua en dirección normal. Como esto no sucede en el orificio mismo, sino en la sección contraída, será el área de esta última la que habrá que utilizar. Por tanto, se puede asumir como regla para determinar el gasto descargado la siguiente: calcular la velocidad que adquiriría un grave cayendo desde una altura igual a la del agua quieta sobre el orificio; luego, multiplicarla por el área del orificio, y finalmente multiplicar el producto así obtenido por el “coeficiente de contracción” 21² : 25² = 0.706, que permite pasar del área del orificio a la de la sección contraída. Este coeficiente, cuyo valor numérico ha sido perfeccionado, como veremos, efectuando mediciones más precisas, ha quedado hasta el día de hoy como una de las “constantes” importantes de la hidráulica práctica.

Imagenes obtenida de: http://www.forosdelweb.com/f6/reto-para-photoshop-526390/ Y http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/accesorioshidraulicos/losdiferentestiposdeboquillas/bo65.jpg

El laboratorio del marqués

Si tienen Uds la feliz oportunidad de visitar la ciudad de Padua, luego de haber visto el Santo (o sea, la basílica de San Antonio), los frescos de Giotto, el Bo’ (la antigua universidad) y el ”Palazzo della Ragione”, no dejen de visitar también el “Prato della Valle”. Se trata de una amplísima plaza cuya forma se acerca a la de un cuarto de círculo, en cuya esquina sur están la iglesia y el monasterio benedictino de Santa Justina, en el cual se alojaba, allá por 1604, el padre Castelli cuando asistía a las lecciones y frecuentaba la casa de Galileo. En el centro de la plaza, en otros tiempos utilizada como hipódromo, se halla un pequeño parque rodeado por un canal de forma elíptica y cruzado por dos umbrosas avenidas. A lo largo de todo el canal están dispuestas setenta y ocho estatuas, principalmente de maestros ilustres y de alumnos, a veces más ilustres todavía, que frecuentaron el Estudio. Allí encontrarán Uds a Galileo y Guglielmini. Una de las estatuas, precisamente la número 52, es una copia; y esto, porque el original, obra del gran escultor Antonio Canova, demasiado valiosa para dejarlo a la intemperie, se halla custodiado en el museo de la ciudad.

El personaje, que la escultura representa como una especie de Júpiter, la mano derecha apoyada en un báculo de forma curiosa, que bien podría ser un instrumento de medición, y sosteniendo con la izquierda un gran cartapacio, es el marqués Giovanni Poleni, matemático, astrónomo, meteorólogo, ingeniero, arquitecto e hidráulico veneciano. Nacido en 1683, Polen fue desde los 25 años profesor en la universidad de Padua. En 1731 ganó un premio en un concurso acerca del comportamiento de la aguja magnética, convocado por la Academia Real de Ciencias de París; y otro dos años después, proponiendo un método para medir la velocidad de un navío con base en la resistencia del agua. Analizó la estabilidad de la cúpula de la basílica de San Pedro en Roma, que se estaba agrietando: construyó un modelo de ella para estudiar su ruptura y diseñó los cercos de hierro forjado que luego se colocaron para asegurarla. Descubrió que una baja de presión atmosférica se asocia con un empeoramiento del estado del tiempo: lo cual, como sabemos, Torricelli había vislumbrado, pero no había podido detectar con su barómetro. Construyó, después de Pascal y Leibniz pero sin conocer las características de lo hecho por ellos, una máquina calculadora, automatizada por medio de un peso que al bajar accionaba sus mecanismos.

Poleni alcanzó su mayor renombre “secundando mi genio de experimentador”, como él decía. Diseñaba y construía él mismo (porque consideraba esencial la habilidad manual en quien se dedique a tales faenas) aparatos medidores de suma precisión. Nos quedan algunos, montados en preciosos armazones de exquisito estilo rococó. Tal vez el mayor mérito de Poleni está en la experimentación hidráulica, en la cual fue el primero que realizó ensayos verdaderamente sistemáticos. Sus logros en este campo se debieron a su paciencia y esmero enormes, atestiguados por las claras y minuciosas descripciones que dejó acerca de la preparación del equipo y la ejecución de las pruebas.

Perfectamente informado de todo lo realizado hasta la fecha, Poleni se dispone a analizar aspectos nuevos: “habiendo resuelto dedicar mi estudio y pensamiento en mis horas de ocio a alguna parte de la misma doctrina en que no hubiese todavía metido mano ningún otro, ni logrado explicarla”. Estas palabras aparecen al principio del tratado, de 1718, De castellis per quae derivantur fluviorum aquae habentibus latera convergentia (De las estructuras de lados convergentes por las cuales se derivan las aguas de los ríos), cuya parte más interesante se refiere a la medición de gastos por medio de orificios.

Su instalación experimental consistía en dos tanques sobrepuestos, A y B y un depósito inferior, C (fig. 34). El tanque A poseía un orificio de descarga inferior, cuyo gasto podía regularse introduciendo más o menos en él la válvula de aguja P. Así el agua caía en el recipiente intermedio B, donde se habían colocado manojos de varitas para tranquilizarla. El recipiente estaba provisto de una ventana V, que actuaba como evacuador de demasías, descargando hacia fuera el agua que sobrepasara el nivel MN de su base. De tal manera, se conservaba una carga constante sobre la boca O abierta lateralmente. Esta boca podía actuar como orificio en pared delgada (1), o bien guiando el desagüe con una boquilla tronco-cónica (2), o con la misma boquilla aumentada por un tubo cilíndrico (3). El ensayo se realizaba, en cada caso, destapando la boca O y echando andar al mismo tiempo un reloj de péndulo que se paraba en el instante en que el depósito C quedaba totalmente lleno. Naturalmente, durante todo el ensayo había que controlar que le agua en el recipiente B se mantuviese en el nivel MN; o sea, que dicho recipiente trabajara todo el tiempo como un “tanque de carga constante”.

En el caso del orificio en pared delgada, Poleni, trabajando con tres cargas diferentes, mejora la determinación del coeficiente de contracción obtenida por Newton; en vez de la proporción de diámetros 21:25, o sea 42:50, que daba el coeficiente 0.706, el marqués obtiene 41:52; resultando para el coeficiente el valor de 0.62. Como todo buen experimentador, Poleni aprecia el margen de error posible en las mediciones efectuadas: menos de 1/3 de línea en las medidas mayores y menos de 1/5 en las menores³⁷. Considerando que la línea a que se refiere es 1/12 de pulgada parisiense, o sea 2.26 mm, vemos que Poleni estaba en condiciones de estimar fracciones de milímetro en medidas, como la del diámetro de la sección contraída, nada fácil de realizar. En efecto el valor de 0.62 que dio para el coeficiente de contracción es prácticamente el que se acepta hoy en día. Es importante observar que Poleni no dejo de examinar, también con cuidado, los efectos sobre la contracción producidos por el espesor de la pared donde el orificio está cortado, así como el de un eventual biselado hacia adentro o bien hacia afuera.

El diámetro del orificio utilizado en el ensayo anterior era de 26 líneas; asimismo, las boquillas empleadas en la segunda serie de pruebas terminaban con ese diámetro; eran cuatro, con entradas de 33, 42, 60 y 118 líneas, siendo la longitud de todas ellas 92 líneas. La carga de agua también era siempre la misma: 256 líneas. En cada caso, se determinaban el gasto y la contracción del chorro: al aumentar el diámetro de entrada de la boquilla, y por tanto la convergencia de esta, iba creciendo la contracción y reduciendo el gasto. Finalmente, utilizando como prolongación de la boquilla un tubo adicional cilíndrico de 26 líneas de diámetro y 91 de longitud, se consiguió un incremento como de un 30 por ciento con respecto al gasto descargado por el orificio simple, sin que cambiaran las velocidades de salida. De esto Poleni deducía que el tubo adicional reduce la contracción del chorro; “además tiene mucho de asombro el hecho de que esa vena de agua, que salida de un orificio simple se contraería, si encuentra un caño aplicado a dicho orificio… se hincha hasta llenarlo, como si fuese atraído por sus paredes”³⁸. Para entender mejor el fenómeno, el marqués adaptó a un orificio de forma cuadrada un canal de igual sección pero abierto por arriba, a fin de poder ver que sucedía realmente con la vena. Vio que esta se contraía efectivamente al salir del orificio; sin embargo, un poco más adelante volvía a expandirse hasta pegarse a las paredes del canal, al mismo tiempo que elevaba su nivel³⁹.

Un año antes de que apareciera el De castelliso sea en 1717, Poleni había publicado otro tratado, bajo el título De motu aquae mixto(Del movimiento mixto del agua). Poleni consideraba “movimiento simple” el de un chorro libre, o sea, aquel donde el nivel del agua al pie del chorro es más bajo que el del orifico del cual el chorro proviene; “movimiento mixto” era más bien aquel donde el chorro resulta parcial o totalmente ahogado. El tratado, como decía su subtítulo, contenía muchas novedades referentes al estudio de estuarios, puertos y ríos; y el objeto de analizar el movimiento mixto era que el autor creía que toda corriente de torrente o río puede considerarse constituida por una sucesión continua de caídas ahogadas; y esperaba, de un estudio cabal de tales caídas, deducir leyes acerca de las características del escurrimiento fluvial y la evolución de los cauces.

El dispositivo experimental utilizado era prácticamente el mismo ya esquematizado en la fig. 34, pero con las variantes que se ven en la fig. 35

El desagüe del tanque A en B se realizaba a través de un caño, controlando el gasto por medio de la llave L. El tanque B descargaba en C a través de 16 perforaciones P de unas 8 líneas de diámetro. En el tanque C se había abierto una fisura rectangular vertical EF, a través de la cual el agua se vertía en un estanque donde el nivel MN de la superficie podía controlarse. Poleni realizó 36 experimentos sistemáticos, modificando en cada caso, como es debido, una de las variables y dejando fijas las demás. El gasto lo varió tapando y destapando perforaciones P: trabajó con 3, 6, 9, 12 y 15 de ellas abiertas; el ancho de la fisura vertedora podía modificarse, disponiendo de varios tanques C con diferentes aberturas, con anchos desde 15.5 hasta 88 líneas; la profundidad de sumersión de la base de la fisura se cambiaba, variando el nivel MN entre 55 y 108 líneas. También se estudió el “movimiento simple” manteniendo el nivel MN por debajo de la fisura.

Por otro lado, Poleni determinó fórmulas teóricas con las cuales comparar los resultados de sus mediciones. En el caso del chorro libre, considerando que su velocidad v varía, como en el caso del orificio, con la raíz cuadrada de la carga a sobre la base de la fisura ( siendo p una constante, fig. 36 a), obtuvo que, si q representa el gasto por unidad de ancho de la fisura misma (gasto unitario), resulta

e integrando,

relación que todavía se conoce como “fórmula de Poleni”. En el caso de descarga ahogada, si PQ (fig. 36 b) es la altura del agua muerta retenida en el estanque, OP la del agua viva ( o sea de la parte libe del chorro), Poleni considera que en OP la velocidad está dada por la misma parábola de la figura 36 a, mientras que en PQ la velocidad debería mantenerse constante, “siendo perfectamente creíble que el agua que escurre por toda la porción PQ reciba de toda el agua viva la misma presión que recibe el agua que escurre por el punto más bajo P de la vertical OP”40. En fórmula, habría que remplazar la 1 por

siendo h la profundidad de sumersión (fig. 35). De hecho, esta suposición luego no resultó comprobada por el experimento, que dio en PQ una velocidad menor que la esperada; entonces, Poleni buscó una fórmula empírica para determinarla.

Un buen experimentador nuca acepta ciegamente los resultados de sus ensayos. Poleni advierte que es posible que de pruebas realizadas en circunstancias aparentemente idénticas resulten pequeñas diferencias. A veces la causa se escapa a todo control: “puede ocurrir -escribe- que a veces la cantidad de agua resulte mayor de lo debido y otras veces menor, auque se procure no cambiar en lo más mínimo la manera de realizar el experimento; y tampoco se tiene que dejar de considerar no solo la variedad de las posibles ubicaciones de los tanques portátiles, sino también la dificultad de determinar con toda precisión los tirantes”⁴¹. Otra posibilidad es que no se logre tranquilizar completamente el agua que entra al tanque: “puede ser que cierta experiencia se efectúe con un arreglo tal que el agua se precipite con gran ímpetu, en ese tanque del cual debe luego salir. Este ímpetu puede con su fuerza inducir al agua a escurrir con mayor velocidad, siendo el ímpetu, y por tanto la aceleración, tanto mayor cuanto más grande es la cantidad de agua”⁴². Finalmente no hay que olvidar la viscosidad del fluido y su adhesión a las paredes: “hay que tomar en cuenta también cierto efecto de coherencia [que puede llamarse frotamiento o fricción] de las partículas del agua con los labios de las aperturas por las cuales esta fluyendo; porque algunas partículas al salir se retrasan en los intersticios entre los bordes inmóviles que ellas van rodeando; y como a tales partículas se les pegan de cierto modo otras, también el movimiento del agua resulta por algún tiempo impedido y trastornado”⁴³.

Poleni se había propuesto descubrir nuevos aspectos de los fenómenos hidráulicos, y lo consiguió. “Todas estas cosas –concluye con cierta satisfacción- estaban fuera, o casi fuera de toda creencia; porque no habiendo sido esto nunca dicho por nadie de aquellos cuyos escritos yo vi, no habiendo sido señalado por ninguno de ellos, no pareciendo que nadie entre ellos lo supiera ni tampoco lo sospechara, yo nunca hubiera imaginado que ellas estuviesen así como están”³⁸.

Imagenes obtenidas de: http://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Poleni Y http://www.jonathanahill.com/book.php?book_id=448

El enigma de la columna doble

La proposición 36 del segundo libro de los Principia newtonianos plantea el siguiente problema: hallar el movimiento del agua que sale de un tanque cilíndrico por un orificio practicado en el fondo; y es justamente el análisis de esta cuestión lo que llevó a Newton a introducir la hipótesis de la catarata. A esta proposición sigue una serie de diez corolarios, el segundo de los cuales reza así: la fuerza con la cual puede producirse todo el movimiento del agua saliente es igual al peso de una columna cilíndrica de agua cuya base sea el orificio EF y cuya altura se 2GI (fig. 31). A lo cual sigue la escueta explicación; “porque el agua descargada, en el tiempo que se hace igual a dicha columna, al caer por su propio peso por la altura GI puede adquirir una velocidad igual a aquella con que está saliendo”⁴⁴. Evidentemente Sir Isaac, apoyándose en el primer teorema de Galileo, aceptaba que, en el tiempo requerido por un grave que cae libremente para recorrer la altura del agua en el tanque, el chorro que sale del orificio sin acelerarse adquiere una longitud que es dos veces dicha altura, formando así la doble columna cilíndrica mencionada; y por otro lado, consideraba que la fuerza aplicada es igual al cambio de cantidad de movimiento producido por ella (segundo axioma de los Principia), cambio que, al destaparse el orificio, resulta ser igual al producto de la velocidad de salida por la masa de la doble columna.

Sin embargo, quienes leían el segundo corolario quedaban perplejos: ¿de dónde podía provenir tanta fuerza si sobre el orificio solo gravita una columna de altura GI? Además las mediciones producían resultados en desacuerdo con el corolario mencionado. Guglielmini, ensayando con un tirante de 3.9 pies sobre un orificio cuadrado de un cuarto de onza de lado (siendo la onza la doceava parte del pie), halló que el agua salida en un minuto, conformada en un prisma con el orificio como base, alcanzaría 427.7 pies de altura (lo que nosotros expresaríamos diciendo que la velocidad de salida era 427.7 pies por minuto); mientras que la velocidad calculada según el principio de Torricelli resultaba de 815.3 pies por minuto. Esto se interpretaba en el sentido de que, si esta velocidad teórica se debe a la presencia de una fuerza igual al peso de una columna doble, la velocidad real apuntaría más bien al de la columna simple⁴⁵. Tampoco faltó quien interpretase mal lo escrito por Newton, afirmando que la velocidad con que el agua abandona el tanque es igual a la que adquiría un grave al caer de una altura doble de la del tirante, y no de una igual a la del tirante como Torricelli había afirmado⁴⁶, lo cual aumentó la confusión.

En defensa de Newton acudió Jacob Jurin, publicando en las Transactions de la Sociedad Real de Londres (1722) un trabajo donde demostraba que el volumen de la doble columna cilíndrica es exactamente igual al de la catarata. Con notación moderna, su demostración es esencialmente la que sigue. Sean a (fig. 37) el radio del orificio EF, b el tirante de agua sobre él. El área de una sección CD cualquiera de la catarata es ; la velocidad en ella, proporcional a .Por tanto, la condición de que el gasto se mantenga igual a través de todas las secciones implica que en la catarata sea

Diferenciando y dividiendo entre , queda

por lo que el volumen de la catarata resulta

que es el volumen de la doble columna. De aquí se concluía que el corolario newtoniano implica que la fuerza que produce el desagüe es el peso de toda la catarata⁴⁷.

Jurin creía haber aclarado definitivamente el asunto; de hecho, lo había enredado más. Michelotti, quien desde antes había iniciado una discusión con él acerca de esa cuestión, no tardó en formular una serie de objeciones. Primero –decía- si lo que empuja al chorro de la catarata, al destaparse el orificio, aquel debería adquirir instantáneamente toda su velocidad, lo que no concuerda con la experiencia. Además, se ve que de un depósito ancho en el fondo y angosto arriba, en el cual no cabría toda la catarata el agua sale igual que de uno cilíndrico; luego la catarata no es indispensable para producir el movimiento. Y continuaba con argumentos análogos⁴⁸. Por cierto, vale la pena notar que el dibujo de Newton reproducido en la fig. 31 hace olvidar que, en su parte superior, la catarata se expande hasta el infinito; así que de hecho ningún depósito podría contenerla en su totalidad.

Las opiniones de Michelotti no satisficieron al conde Jácopo Riccati, ese mismo que había integrado una célebre ecuación diferencial que todos los estudiantes de calculo conocen, de nombre por lo menos. ¿Para qué tanto escándalo con que si existe o no la catarata? –decía él. Si es útil para explicar el fenómeno, aceptémosla simplemente como modelo matemático. El argumento newtoniano se apoya en la hipótesis de que el chorro mantenga la misma velocidad que posee la catarata al salir del orificio: que se compruebe si este hecho se verifica o no en la naturaleza, y luego se discuta. De hecho, la única manera de medir la fuerza que expulsa al chorro es determinando la cantidad de movimiento engendrada por la caída del fluido desde la superficie hasta el orificio; y experiencias como la de Guglielmini arriba mencionada sugieren que el cilindro de agua que sale durante el tiempo que tarda dicha caída, si bien no tiene la altura de dos veces el tirante, por lo menos es seguramente más alto. Por tanto, según Riccati, habría que concluir que, además de la acción vertical de la presión del agua, debe de existir otra oblicua que de alguna manera se le suma⁴⁹.

Se encontraba entonces en Venecia un hijo de Johann Bernoulli, de nombre Daniel, proveniente de Basilea, quien había aprendido de su belicoso padre que en cuestiones científicas el que está seguro de su propia opinión debe manifestarla sin temor de nadie, aunque este sea el propio conde Riccati. Así que, a pesar de no tener más de 24 años, dicho joven se lanzó de cabeza en la lucha.

Daniel no era de esos que esperan a que las cosas se las cuenten los demás. Él construyó su tanque, lo llenó de agua, colocó en ella partículas de cera de España, destapó el orificio y observando la bajada de las partículas, vio – o creyó ver- que seguían trayectorias similares a las trazadas en la fig. 38, sin asomo de catarata. “Me parece –escribió más tarde- que el movimiento interno del agua debe considerarse tal como sería si ella fuese arrastrada por tubos infinitamente pequeños colocados uno cerca de otro, de los cuales los centrales bajan casi directamente desde la superficie hacia el orificio mismo, mientras que los demás se encorvan gradualmente cerca del orificio mismo, como muestra la figura; de donde aparece que las partículas individuales bajan con movimiento muy aproximadamente vertical hasta acercarse mucho a la base, para luego dirigir gradualmente su trayectoria hacia el orificio; de tal modo, las partículas próximas a la base escurren con movimiento casi horizontal” ⁵⁰. Por tanto, no habrían en el depósito movimientos oblicuos, como parecía creer Riccati.

Además –argumenta Daniel- si se produjera un movimiento oblicuo, el gasto descargado tendería más bien a disminuir que a crecer. Por otro lado, supongamos primero que el depósito no tenga fondo, es decir que el orificio tenga un diámetro igual al del recipiente: entonces cada partícula caería verticalmente sin afectar al movimiento de sus vecinas. Si por el contrario el orificio fuese sumadamente pequeño, resultaría el efecto opuesto: cada gota tendría que comunicar a la que tiene debajo “toda la fuerza de gravedad”, mientras que la inferior no le cedería nada a la superior. Si, finalmente, nos hallásemos en el caso intermedio de un orificio cuya sección sea mitad de la del recipiente, el agua bajaría en este con la mitad de la velocidad con que sale del orifico; por tanto, al principio de su movimiento cada gota solo emplearía la mitad de su gravedad natural, comunicando la otra mitad a la gota de encima. Es decir, que el agua saldría con la velocidad que adquiría cayendo no de la altura AB, sino de la altura AB/2; por tanto, esta velocidad sería a la del segundo caso como Concluía Daniel proponiendo calcular la fuerza que empuja al agua que sale del orificio por medio de la fórmula , donde P es el peso de la columna de agua que está sobre el orificio, n la sección de este último y m la del tanque⁵¹, fórmula verificada en los tres casos arriba mencionados.

La polémica continuó por algún tiempo. Sabemos que Riccati pidió a Daniel Bernoulli comprobar sus ideas con base en los experimentos de Guglielmini; lo que Daniel hizo, pero con resultados no decisivos52. Cómo la controversia entre los dos haya concluido por entonces, no lo sabemos. Lo más probable es que, como la mayor parte de semejantes disputas, no haya alcanzado ninguna conclusión; porque con el pasar del tiempo los fenómenos revelan nuevos aspectos y ciertos detalles pobremente entendidos se explican. Cada uno de los contendientes se da cuenta que ha incurrido en algún desacierto, mientras que el adversario un poco de razón tenía; y ambos resuelven que no vale la pena seguir discutiendo.

Imágenes obtenidas de: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riccati.jpg y http://es.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli

Daniel en San Peterburgo

Un día de mayo de 1717, la Real Academia de Ciencias de París se puso de gala: esperaba la visita de Pedro el Grande, zar de todas las Rusias. Llegó Pedro, elegante en su casaca bermeja con listones de oro, destacándose por su estatura descomunal y sus bigotes y largo pelo rojos, entre académicos y cortesanos ataviados con las pelucas de moda en esa época. Se trataba de un soberano excepcional, interesado en ciencias y técnicas, diestro en las artes manuales; y con orgullo le mostraron sus telescopios, instrumentos de medida, colecciones raras. Franco, jovial y entusiasta, Pedro de todo entendía y de todo se informaba. Le presumieron de unos bellos mapas del territorio ruso; pero él descubrió cantidad de errores y prometió enviar, en cuanto lo concluyera, un mapa del Caspio, el mar del Volga. Habían decidido hacerlo miembro de la Academia; sin embargo, para un personaje como él, que con férrea voluntad estaba transformando su inmenso país, el más atrasado de Europa, en una gran potencia, se requería un título especial: así, lo proclamaron académicien hors de tout rang, académico fuera de toda categoría. Otro monarca hubiera archivado este como un título más; pero Pedro lo tomo en serio y, de regreso en Rusia, encontró el tiempo para mantener correspondencia con sus nuevos colegas⁵³.

La secreta ambición del zar era crear su propia Academia, como la tenían los reyes de Francia e Inglaterra y el elector de Sajonia. Un lujo en un país donde había muy pocas escuelas primarias; no obstante, así era él. En 1701, con la ayuda de un experto naval inglés, había fundado una Escuela de Ciencias, Matemáticas y Navegación, a la cual no faltaron aspirantes; pero casi todos resultaron analfabetos, y hubo que remediar esto creando escuelas de menor grado y enviando jóvenes a prepararse en el extranjero. En febrero de 1724, en San Petersburgo, la bella, flamante capital edificada en la desembocadura del Neva, nació la Academia de Ciencias. Había de traer de fuera a los académicos; debían de ser científicos brillantes, pero jóvenes, dispuestos a residir en esas tierras del Báltico: ¿por qué no intentarlo con los Bernoulli de la nueva generación, Nikolaus y Daniel, de los cuales se decían maravillas?

Nikolaus, el primogénito de Johan, y Daniel, cinco años menor, habían pasado su infancia en Flandes, en Groninga, donde el padre, con el apoyo del amigo marqués de L’Hôpital, había encontrado trabajo como profesor. Tal vez este había sido para él un romántico regreso a la tierra de la cual sus antepasados habían huido en 1576, cuando los españoles arrasaban la ciudad de Amberes. En 1705 los Bernoulli vuelven al alto Rín, a Basilea; el tío Jacob, ilustre matemático también y catedrático en la universidad, acaba de fallecer, y Johann había sido llamado para remplazarlo. El siguiente matemático de la familia será Nikolaus; pero nadie más. Sobran matemáticos en la familia, y por eso las finanzas domésticas están como están: Danielito será comerciante, decreta papá. Pero Danielito solo tiene ojos para el hermano mayor, su héroe y campeón; y cuando este, a los 16 años, ataviado con toga y birrete, recibe la borla de doctor, el pequeño le suplica que le enseñe geometría. Tal enseñanza se lleva a cabo en total secreto, cuando papá Johann se halla ausente.

Con la ciencia en la cabeza, Daniel resulta la negación de los negocios; además, quiere entrar a la universidad como Nikolaus. Se logra ablandar al progenitor, quien da su consentimiento siempre que la carrera elegida sea la medicina, la más remunerativa. Así, Daniel estudia para ser médico y obtiene el título; pero como sabemos, lo que realmente lo cautiva es la hidrodinámica, y en Venecia redacta unas Ejercitaciones al respecto. A pesar de su juventud, Daniel se vuelve rápidamente famoso; un día se presenta a un señor desconocido, diciéndole: “yo soy Daniel Bernoulli”, a lo que el otro replica en son de burla: “y yo, Isaac Newton”⁵⁴.

Llega la invitación de Pedro el Grande, y en 1725 los dos hermanos viajan felices a San Petersburgo. El zar acaba de morir, pero la emperatriz Catalina sigue llevando adelante con firmeza sus proyectos. Los miembros de la Academia se encuentran aislados: no entienden la lengua del país, donde por lo demás no hay quien se interese en sus lucubraciones; así que deciden seguir investigando y se entretienen presentando cada uno a sus colegas disertaciones sobre temas útiles y en lo posible novedosos. Naturalmente, Daniel elije los movimientos de los fluidos y las fuerzas que los provocan. El año siguiente es de gran tristeza: Nikolaus, el hermano y amigo incomparable, muere de fiebre lenta. Daniel, que ha seguido con creciente angustia la enfermedad, sin poder con todos sus conocimientos de medicina detener el progreso y desenlace fatal, queda desolado y terriblemente solo.

¿Qué hacer? ¿Dónde encontrar, tan lejos de su tierra, con quien compartir sus problemas científicos y humanos? Se acuerda de Leonhard Euler, inteligentísimo vástago de un pastor luterano que él había dejado estudiando con su padre, que ahora acaba de doctorarse; con grandes dotes para la investigación, asociadas a una memoria y una facilidad para la computación mental prodigiosas, prometía una carrera fuera de lo común. Decide proponerlo a la zarina para cubrir la plaza que Nikolaus ha dejado vacante. Catalina extiende la invitación, y en 1727 este joven de 20 años llega a San Petersburgo lleno de esperanzas. Euler es esencialmente y ante todo un matemático, pero también le interesa cualquier campo donde las matemáticas tengan aplicación; uno de ellos la hidrodinámica, hacia la cual lo atrae Daniel con facilidad. En 1733 queda vacante en Basilea una cátedra de anatomía, para la cual Johann propone al hijo médico; y Daniel regresa, dejando la suya de matemáticas a Euler, que quedará en San Petersburgo ocho años más, irá luego a Berlín, donde permanecerá 25 años, y finalmente regresará a San Petersburgo para que transcurran allí los últimos 17 años de su vida.

El propósito de Daniel al volver a Basilea no fue seguramente dedicarse a la medicina: efectivamente, apenas pudo trocó su cátedra de anatomía por otra de botánica, y luego esta última por una de “filosofía experimental y especulativa”, o sea de física. En 1729, en San Petersburgo, había comenzado a escribir un tratado de mecánica de fluidos, de cuyo manuscrito dejó copia en esa Academia. Luego, en Basilea, se dedicó a revisarlo y complementarlo, hasta que en 1738 la obra pudo publicarse en Estrasburgo, con el título Hydrodinamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (Hidrodinámica, o sea, comentarios acerca de las fuerzas y los movimientos de los fluidos). “Por fin –escribía satisfecho en prologo- se publica nuestra Hidrodinámica, luego de haberse superado todos los obstáculos que detuvieron su impresión durante casi ocho años”⁵⁵. Efectivamente, Daniel podía sentirse orgulloso: con ese tratado, la mecánica de los fluidos nacía como ciencia.

Imágenes obtenidas de: http://es.wikipedia.org/wiki/Bernoulli , http://es.wikipedia.org/wiki/Groninga , http://es.wikipedia.org/wiki/Basilea y http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%ADo_Neva

El enigma se explica

En el capitulo 13 del libro, Daniel ataca teóricamente el problema del orificio⁵⁶. Sus cálculos no son fáciles de seguir, porque él llama v a la energía cinética específica (por unidad de masa) y supone iguales a uno, tanto la densidad del fluido, que nosotros acostumbramos llamar, como la aceleración de gravedad, que solemos denotar con g=g/r (si g es el peso específico del fluido mismo).Vamos a reconstruirlo con notación moderna. Sea ACDB (fig. 39) un tanque provisto de un tubo de descarga EH de sección unitaria y longitud m. Sea h la carga de agua sobre el orificio. La fuerza actuante sobre el fluido contenido en el tubo, por ser unitaria la sección de este, es una presión, que indicaremos con p. La masa de agua contenida en el tubo es rm; por tanto, si v es la velocidad con la que sale, rm será su cantidad de movimiento. Igualando el impulso durante un tiempo infinitesimal, dt, a la correspondiente variación infinitesimal de cantidad de movimiento, resulta que

Aquí dm representa la longitud del cilindro infinitesimal de agua que abandona el tubo en el tiempo dt, por lo que resulta dt=dm/v; expresión que, remplazada en la ecuación 1, la transforma en

Apliquemos ahora el teorema de las fuerzas vivas, expresando que la variación del trabajo realizado durante el tiempo dt en la expulsión del fluido es igual a la correspondiente variación de las fuerzas vivas en el tubo. La variación del trabajo es el peso gh de una columna de fluido de sección unitaria multiplicado por el desplazamiento elemental dm, y la fuerza viva en el tubo es rmv2/2; por lo que resulta

de donde se obtiene

que, remplazada en la ecuación 2, da finalmente

De aquí Daniel saca las siguientes conclusiones:

a) El hecho de que el parámetro m haya desaparecido de la ecuación final 3 sugiere que la longitud del tubo “no contribuye en nada a la fuerza repelente sostenida por el recipiente”. Sin embargo, dicha longitud afecta a los incrementos de velocidad, porque entre más largo sea el tubo, más lentamente se acelera el agua. Si el tubo fuese de longitud infinita, se requeriría un tiempo infinito para que el fluido adquiriese una velocidad apreciable.

b) La fórmula 3 es válida siempre que se suponga el paso de un “flujo libre” por el tubo. Si el escurrimiento se retrasa por obstáculos externos, como prolongar el tubo mismo o cerrar frecuentemente su orificio, también la fuerza repelente se reduce.

c) La fórmula 3 permite explicar el famoso corolario 2 de la proposición 36 de Newton.

Con referencia a este último punto, Daniel confiesa que la idea de la doble columna “yo y algunos otros nos habíamos opuesto, mientras que otros lo confirmaban. Pero ahora, luego de haber pensado en esta teoría del movimiento del agua, me parece que la disputa debe conciliarse como sigue: cuando el agua ha alcanzado un movimiento uniforme, lo que seguramente es la suposición de Newton, entonces esa fuerza se define correctamente por la altura 2GI (fig. 31) {ver La catarata}; pero al principio del escurrimiento, cuando la velocidad es todavía cero, la fuerza corresponde a la altura simple GI. A medida que la velocidad crece, la fuerza que induce al agua a salir crece simultáneamente, para alcanzar finalmente la magnitud asignada por Newton… También el célebre Riccati, con el cual tuve una discusión acerca de este argumento, cuando se le preguntó de dónde podía provenir esa fuerza correspondiente al doble de la altura del agua, mientras que es manifiesto que, con orificio cerrado, el elemento de volumen adyacente a este recibe la presión de fuerza correspondiente a la altura simple, contestó que hay que hacer distinción entre el estado de reposo y el de movimiento”⁵⁷.

Actualmente, este resultado lo expresamos como sigue. La energía específica p/r relacionada con la presión que actúa sobre el orificio se compone de dos partes: una potencial, correspondiente al tirante de agua, y otra de carácter cinético, que depende de la velocidad de salida. Una vez establecido el régimen de desagüe, disponemos, de acuerdo con la ecuación 3, de ambas, la gh, proveniente de la columna líquida sobre el orificio, y la v2/2, que puede, transformándose en potencial, volver a crear otra columna equivalente.

Padre e hijo

El padre de Daniel también llegó a interesarse en la cuestión del orificio, en ese entonces problema número uno de hidrodinámica. Su solución, por razones que veremos más adelante, es diferente, y vale la pena recordarla aquí. Johann no llega a explicar la doble columna, pero por primera vez introduce conceptos importantes: los de transición y de separación del flujo en cambio de sección.

Considera un conducto ABCFDE de ancho unitario (fig. 40), compuesto por dos tubos de sección diferente, dentro del cual escurre un líquido. En el paso del fluido del tubo mayor al menor, hay un cambio de velocidades en proporción inversa a las áreas de las secciones; pero –argumenta Johann- el cambio debe ser gradual, formándose una “garganta” IHGF donde se encauza la corriente, mientras queda quieto el fluido alojado en la zona separada IMFD. La aceleración que se asocia con el paso por la garganta requiere la presencia de una fuerza motriz, que no puede provenir sino de la presión aplicada al fluido en la sección EA, que se transmitiría instantáneamente hasta la FG.

Los cálculos de Johann se siguen más fácilmente que los de Daniel, porque la manera como están escritos nos resulta familiar: por ejemplo, Johann llama v a la velocidad, p a la presión, g a la aceleración de la gravedad, e indica con x la coordenada horizontal y con y la vertical. Se podría decir que sus notaciones se parecen a las nuestras; pero lo cierto es que son las nuestras las que se parecen a las de él, lo cual seguramente se debe a Euler, quien utilizó el simbolismo de su maestro al establecer las ecuaciones fundamentales de la hidrodinámica bajo la forma en que hoy las empleamos. En las fórmulas de Johann, como las de Daniel, se omite la densidad r; pero este defecto lo comparten también obras actuales, como el conocido libro del Dr. Townsend sobre la estructura del flujo turbulento⁵⁶.

El razonamiento de Johann es esencialmente el siguiente. Si v es la velocidad en el tramo FB, donde la sección es m, la velocidad u en un punto de la garganta donde la sección sea y será

Luego considera la “fuerza acelerada”, que es la que nosotros llamamos “fuerza másica”, o sea por unidad de masa; fuerza que, al final de cuentas, no es sino la aceleración.

por ser , donde se deduce que

Siendo dx el ancho de una tajada fluida infinitesimal MKLN de la garganta, rdx representaría la masa por unidad de sección de dicha tajada y radx lafuerza por unidad de sección, o sea, la presión diferencial aplicada para mover a la tajada misma. La presión requerida para mover todo el fluido de la garganta se obtendrá integrando radx a lo largo de la garganta, lo que por la expresión 2 equivale a integrar rudu. Según la ecuación 1, tenemos que

Y entonces la presión total p será

donde h representa el ancho HI, Concluyendo,

será la presión requerida para crear la aceleración necesaria en la garganta con el objeto de cambiar la velocidad del agua del tubo mayor en la del tubo menor. Johann infiere, con base en la fórmula 3, que, para determinar dicha presión, no es necesario conocer ni la forma ni el largo de la garganta.

Como corolario, considera el caso de remplazar el conducto mayor por un tanque AEDG (fig. 41). Si EF=d es el tirante de agua sobre el tubo FB,

será la presión ejercida sobre la entrada de dicho tubo. Por otro lado, la altura z de la cual tiene que caer libremente un cuerpo para alcanzar la velocidad v de salida resulta de la ecuación, análoga a la expresión 2,

de la cual, integrando, se obtiene

Remplazando la ecuación 5 en la 3, despejando z y aplicando la fórmula 4, resulta finalmente

De donde se concluye que la velocidad del agua que sale del orificio BC al destaparse este, converge muy rápidamente a la que adquiere un cuerpo que caiga libremente desde la altura expresada por la fórmula 6⁵⁹. Finalmente, si el orifico es muy pequeño con respecto a la sección del tanque, de modo que m² pueda despreciarse frente a h²,la fórmula 6 se reduce a z=d. “Este es un teorema muy conocido –concluye Johann-, pero hasta ahora no había sido deducido de principios dinámicos, especialmente cuando está presente el tubo adicional BF, porque antes el teorema se consideraba correcto solo para un pequeño orificio ubicado en F”⁶⁰.

Johann insiste sobre la importancia de considerar la fuerza que empuja al fluido a través de la garganta: “El dejar de considerar esta fuerza motriz, como si fuera de poca importancia, ha sido la razón por la cual nadie hasta hoy a podido obtener las leyes del escurrimiento de los líquidos por conductos no uniformes, a partir de principios estáticos y puramente mecánicos. Pero quienes emprendieron la determinación exacta de esas leyes regresaron –siguiendo mi ejemplo, por cierto- al principio de las fuerzas vivas, cuya aplicación a este y otros problemas, ya sea en sólidos como en fluidos ellos tal vez no habrían considerado nunca si no me hubiesen seguido a mi, que fui el primero en mostrar cómo estas leyes pueden deducirse de la conservación de las fuerzas vivas. Pero yo mismo, insatisfecho en cuanto el método era indirecto y fundado sobre una teoría de esas fuerzas que no se acepta todavía universalmente, no dudé en buscar un método directo que se apoyara solamente en principios dinámicos que nadie objete. Finalmente, luego de una meditación bastante prolongada, conseguí mi propósito en el año 1729, cuando advertí que el punto crucial de todo el asunto está en considerar la garganta, que antes nadie había tomado en cuenta. Así, ahora empiezo a compartir mis descubrimientos, ya explicados previamente a ciertos amigos, también con el público”⁶¹.

Todo lo anterior se lee en el pequeño tratado Hydraulica, nunc primum detecta ac demostrata directe ex fundamentis pure mechanicis (Hidráulica, ahora descubierta por primera vez y demostrada directamente a partir de fundamentos puramente mecánicos), donde lo de “fundamentos mecánicos” parece referirse a que allí no se utiliza el principio de cantidad de movimiento. Esta obra, a pesar de estar fechada en el año 1732, fue remitida a Euler en dos partidas, la primera en 1739 y la segunda en 1740, para su publicación en las memorias de la Academia de San Petersburgo; y como allí tardaron, respectivamente cuatro y siete años en aparecer, acabaron por editarse primero en la colección de las Opera omnia (Obras completas) de Johann Bernoulli, que vio la luz en Suiza en 1743, para celebrar los 75 años del renombrado científico⁶².

Ahora, en lo que hemos leído llama la atención el énfasis puesto por el autor sobre su prioridad no solo en la idea de la garganta, sino también en la utilización del principio de conservación del principio de conservación de las fuerzas vivas, hecha por “otros” en el análisis del fenómeno en cuestión. Pero, ¿quiénes podrían ser estos otros? ¿No se trataría, en primer lugar, del mismo Daniel que, como sabemos, así había procedido? Porque entre el padre, cuyo carácter receloso y pendenciero se trasluce en el escrito, y el hijo, más bien sencillo y franco, no era la primera vez que surgían conflictos. Una vez Daniel y su padre habían enviado, cada uno ocultándolo al otro, soluciones a una cuestión propuesta por la Academia de Ciencias de París. Resultado: el premio lo gana Daniel; y el padre se enfurece tanto que lo echa de la casa⁶³.

En las cuestiones relativas a hidrodinámica o hidráulica, Daniel parece haber precedido al padre. Salvo la refutación que conocemos de la catarata de Newton, Johann parece haber empezado a trabajar en el tema solo cuando el hijo ya se hallaba recopilando sus resultados. Pero en la Hidrodinámica de este último se encuentra una enorme cantidad de material cuya presentación es poco metódica, especialmente en lo que se refiere al tratamiento teórico; lo que debió desagradar a la mentalidad matemática del padre, quien con razón se habría sentido impulsado a proponer otra, más sintética y rigurosa. Pero, ¿por qué ocultarlo a Daniel? ¿Por qué dejar que este solo se enterara cuando las Opera omnia vieron la luz? Y más que todo, ¿a que venía la impostura de anteponer a la Hidráulica la fecha 1732, con el objeto aparente de demostrar que los resultados del padre precedían a los del hijo?⁶⁴

Además, Johann había hecho imprimir al principio de esta obra, como presentación, una carta dirigida a él por el “sagacísimo matemático Leonhard Euler”, a la sazón ya más celebre que su maestro. “Con anterioridad –escribía Euler- yo he alabado grandemente la teoría de Ud acerca del agua corriente, debido al positivo y genuino método que Ud solamente, Excelentísimo Señor, reveló primero, para tratar exhaustivamente problemas de este tipo. Pero ahora, luego de haber examinado otra porción de sus estudios, he quedado totalmente asombrado por la sencillísima aplicación que Ud hace de sus principios a la solución de los problemas más intrincados, invento sumamente útil y profundo, gracias al cual su ilustrísimo nombre se reverenciará para siempre entre las futuras generaciones… Es cierto que ningún otro ha acometido este tema salvo su muy renombrado hijo que, sin embargo, definió la presión de una manera bastante indirecta, solo en cuanto todo el movimiento ya haya adquirido el estado permanente; con todo, luego que el método genuino fue traído a la luz, Ud determinó sin más con toda precisión la presión en todo estado del agua”⁶⁵.

Y Daniel, ¿Qué dice? Examinando el último volumen de las Opera omnia recién publicadas descubre la Hidráulica,la hojea, se adentra en los detalles buscando en vano una mención a sus propios trabajos. Estremecido, con la sangre que le sube a la cabeza, se esfuerza por hallar el sosiego necesario para leer con calma. Además, esa fecha… Y Euler, su íntimo amigo, el muchacho siete años más joven, que él tanto había querido y ayudado, helo aquí también arremetiendo en contra suya. ¿Qué hacer? ¿Enfrentarse al padre? ¿Y con que provecho? Bien conoce su mal genio. Agarra papel, pluma y tinta y escribe a ese farsante de Euler: “Suplico a Vuestra Excelencia –curiosamente así de ceremoniosas eran sus cartas- que me comunique con sincera amistad y confianza su opinión acerca de las Opera de mi padre, especialmente el último volumen. Por mi parte, yo tengo una razón del máximo peso para quejarme de ellas: los nuevos problemas mecánicos provienen de mí en su mayor parte; y mi padre incluso había visto mis soluciones antes de resolverlos a su manera; sin embargo, ni una palabra para darme crédito, lo que encuentro más enojoso en cuanto mi solución no se ha publicado todavía… Me hallo hurtado de repente de mi entera Hidrodinámica, por la cual por cierto no soy acreedor ni de una tilde según mi padre, y así pierdo en una hora los frutos de diez años de labor. Todas las proposiciones las toma de mi Hidrodinámica; y, sin embargo, mi padre intitula sus escritos Hidráulica, ahora descubierta por primera vez, año 1732, siendo que mi Hidrodinámica se imprimió solo en 1738. Mientras tanto mi padre ha sacado de mi todo, salvo que él pensó en un método general diferente para determinar el incremento de velocidad, invento que consiste en unas pocas hojas. Lo que mi padre no reclama totalmente para sí, eso lo desprecia; y finalmente, colmo de mis males, anexa la carta de Vuestra Excelencia en la cual también Ud rebaja mis inventos en un campo en el cual yo soy totalmente el primer, por no decir único, autor, y que pretendo haber agotado por completo. Todo esto es todavía lo menos de que me puedo quejar. En un principio esto me parecía casi imposible de aguantar; pero finalmente he tomado todo con resignación; aunque me haya también nacido un disgusto y desprecio hacia mis estudios anteriores, tanto que preferiría haber aprendido el oficio del zapatero y no el de matemático. Además, desde entonces ya no me he podido decidir a trabajar en nada que sea de matemáticas. El único gusto que me queda es elaborar de vez en cuando algún proyecto sobre el pizarrón, para poderlo luego olvidar”⁶⁶.

Por esa fecha Euler residía en Berlín, donde había ido dos años antes por invitación de Federico el Grande, que estaba congregando sabios en su Academia; y Euler había preguntado a Daniel si estaría dispuesto a ingresar en ella. Pero Daniel ya no quiere oír nada de eso: “No podría aceptar en sincera conciencia la invitación A Berlín, tampoco si el mismo Rey me hiciera el honor de enviármela; así que le ruego no pensar ya en mí para este asunto”. Finalmente concluye: “No he podido evitar quejarme con Vuestra Excelencia, como mi mejor amigo, viendo que podría bien surgir una ocasión para que Ud me defendiera de esa injusta sospecha de plagio, sin hacer daño a mi padre; y hacer de modo que, por lo que concierne a los puntos en controversia entre mi padre y yo, la verdad no sufra daño. No me parece conveniente defenderme a mí mismo”⁶⁷.

De hecho, las sospechas de Daniel en contra de Euler eran injustas. El padre había publicado solo la primera parte del comentario que Leonhard le había remitido, caracterizada por expresiones de deferencia del alumno a su anciano maestro. Pero la carta continuaba con una crítica precisa, que Johann se cuidó de divulgar, crítica que hace justicia a Daniel: “Cuando, para tuberías conectadas horizontalmente a un depósito, Ud halla que la presión que impulsa al recipiente hacia atrás difiere de aquella que concuerda con la hipótesis de su hijo, esa fuerza así como la determina su ilustre hijo me parece sin duda más acorde con la verdad que la de Ud; sea esto dicho sin ofensa para Ud”⁶⁸; y Euler continúa explicando como la teoría de Johann podría corregirse para conciliarla con la de Daniel. Además, hay una razón de fondo que le impide a Euler asumir una actitud definitiva a favor del uno o del otro: ve lo bueno que hay en ambas teorías; sin embargo, ninguna lo deja totalmente satisfecho. Daniel se precia de haber “agotado por completo” el campo de la hidrodinámica, pero Euler no lo ve así. Matemático más sutil que los Bernoulli, de hecho uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos, Euler se halla insatisfecho, nota la ausencia de algo sustancial. Johann y Daniel están visualizando el movimiento del fluido y las fuerzas que lo producen, en una sola dimensión: la corriente avanza tajada tras tajada; tajadas de ancho infinitesimal, rígidas e indeformables. Pero la realidad no es así: el viento no agita a dos hojas de la misma manera; cada partícula de la masa fluida se caracteriza por sus propias velocidades y presiones, que además varían de un instante a otro. ¿Serán las matemáticas incapaces de elaborar un modelo que tome todo esto en cuenta? Euler percibe que no es así; algo en su pensamiento lo eleva muy por encima del universo de los Bernoulli. Necesitará diez años más de meditación; pero entonces sacará a la luz una teoría completa e inmejorable, y al mismo tiempo increíblemente sencilla, capaz de considerar punto por punto lo que acontece dentro del fluido y deducir los efectos resultantes.

Imagen obtenida de: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

La comunicación lateral

La Casa de Este había tenido bajo su señorío a Ferrara durante más de tres siglos, cuando en 1598 se vio despojada de dicha ciudad por el Papa, pues la familia carecía de un heredero directo. Entonces, el que no lo era se mudó con toda su corte a Módena. Allí los Este construyeron un palacio inmenso, más grande que el que habían dejado en Ferrara, y fundaron una universidad que se distinguió por dar a los estudios científicos precedencia sobre los humanísticos. En 1774, un sacerdote de 28 años, Giambattista Venturi, fue llamado para enseñar en dicha universidad geometría e “institución filosófica”; su carácter se transparenta en esta sincera confesión: “Dedicado como estaba enteramente al estudio, calculé que mujer, hijos y negocios de familia me arrebatarían buena parte del tiempo que yo destinaba con más gusto a las ciencias; de modo que resolví adquirir el estado eclesiástico, libre por lo demás, de acuerdo con el uso o abuso de la época, de cualquier servicio específico de iglesia”⁶⁹.

El ducado de Módena se extendía desde los Apeninos hasta el Po. Comarca agrícola, producía –y produce todavía- cereales, vegetales, cáñamo, uvas y otros frutales, forraje, leche, capullos de ceda y elaboraba harina, vino, queso y salazones; todo gracias a la fertilidad de sus tierras y a las aguas de que disponía para regarlas y mover molinos. Porque surcaban el ducado dos ríos, Secchia y Panaro, y cantidad de canales trazados en todos los sentidos; lo cual explica que los modenenses, gente práctica, en nada se interesen tanto como en la hidráulica. Es natural, entonces, que un hombre como Venturi, abierto a los problemas técnicos, se orientara hacia el estudio experimental de aquella. “Los físicos más razonables desconfían de toda teoría abstracta del movimiento de los fluidos –escribía- y los grandes geómetras hasta confiesan que los métodos que les han procurado progresos tan sorprendentes en lo referente a la mecánica de los cuerpos sólidos, en el campo hidráulico no llevan sino a conclusiones demasiado generales, e incluso inciertas en la mayoría de los casos particulares. Compenetrado con esta verdad, me he ocupado de la teoría solo en cuanto se combina con los hechos y se requiere para reunirlos bajo un solo punto de vista”⁷⁰.

Venturi instala en el “teatro físico” de la universidad un dispositivo para el estudio de los chorros, muy parecido al de Poleni (fig. 34) {ver El Laboratorio del Marqués}, y ejecuta en él experiencias, con la puerta de la sala abierta a todo público interesado o curiosos. La maniobra se realiza con toda precisión con el auxilio de tres operadores: el primero cuenta en voz alta los segundos del péndulo, otro abre el orificio en el instante de los 60 segundos, y el tercero se dedica a regular la salida de agua del tanque superior, controlando que la ventana del intermedio deje salir constantemente una lámina de agua muy delgada. Todo ensayo se repite muchas veces seguidas, hasta que la concordancia de los resultados elimine todo temor de equivocación⁷¹.

Sin embargo, Venturi no se contenta con repetir los ensayos de Poleni; perfecciona detalles y concibe nuevas aplicaciones. Por ejemplo, se sabía que la contracción del chorro se produce también cuando al orificio GH se le aplica un tubo adicional cilíndrico GK (fig. 42). No se disponía entonces, como hoy disponemos, de conductos transparentes de grandes dimensiones; ¿cómo pues comprobar su presencia y medir la depresión que nace en su interior? Al tubo adicional, Venturi le agrega una cánula de vidrio QRS, quedando su entrada Q dentro de l a zona GMNQ donde la corriente se separa de la pared. La cánula, que termina con su extremo inferior sumergido en el agua coloreada contenida en el vaso T, funciona como barómetro, equilibrando la presión atmosférica con el interior, que se puede así determinar con base en la altura de la columna US.

Otra investigación interesante se dedica a mejorar la forma del tubo adicional con el fin de conseguir que el gasto que, bajo una carga dada, puede sacarse del orificio, sea el más grande posible. Venturi descubre que, si al orificio se le aplica un tramo cónico AB convergente (fig. 43) a fin de seguir la forma de la vena contraída, el gasto aumenta de 10 a 12.1; si además en extremo C del tubo cilíndrico BC, de diámetro igual al de la concentración, se adapta un tramo cónico divergente CD, el gasto crece todavía de 12.1 a 24. Así, utilizando los dos aditamentos, se logra incrementar el gasto de 10 a 24, o sea el 140 por ciento. ¡Con razón –comenta Venturi- en la antigua Roma, donde los particulares adinerados podían adquirir el derecho de derivar a sus casas aguas provenientes de los depósitos públicos, no se les permitía ensanchar su cañería a un diámetro mayor de aquel que se había concedido para el orificio de toma! Realmente la cláusula prohibía que la expansión se efectuara a una distancia de 50 pies desde la toma; y el legislador –agrega Venturi- “no se había dado cuenta que era posible estafar la ley de todos modos, aplicando el aditamento CD más allá de los cincuenta pies”⁷².

Otros ensayos de Venturi se dedicaban, por ejemplo, a estudiar cómo se reducía el gasto del orificio y cómo se acercaba a él la sección contraída del chorro al introducir en el orificio mismo una punta cónica, con su eje perpendicular al plano del orificio y pasando por el centro de este último⁷³. Pero lo que Venturi consideraba la novedad más interesante de sus investigaciones en Módena era lo que él llamaba “principio de la comunicación lateral”.

Entre las lecturas de Venturi estaba el clásico de los clásicos, los Principia de Newton, tratado de inspiración permanente para quien sienta la sugestión del pensamiento de aquella gloria del género humano: “gloria tal y tan grande que –como se lee en Westminster- los mortales tendrán que felicitarse de que haya aparecido”

Gratulentur mortales talem tantumque existititsse

humani generi decus

Ahora, en cierta parte Newton supone que un movimiento cualquiera nacido en un punto A dentro de un medio fluido se propaga a través del orificio BC (fig. 44). “Entonces –escribe- como la causa de esta propagación es que las partículas del medio que están cerca del centro A perturban y agitan a aquellas que se encuentran más lejos; y como las partículas que se impelen son fluidas y, por tanto, se dirigen indistintamente hacia sitios en que sean menos empujadas, se retirarán por consecuencia hacia las partes donde el medio está quieto, tanto las laterales, como KL y NO, como las que están enfrente, como PQ. De tal modo, todo el movimiento, una vez cruzado el orificio BC, comenzará a dilatarse, y desde allí, como si este fuese su principio y centro, se propagará directamente en todas las direcciones”⁷⁴.

Newton pensaba evidentemente en la propagación del sonido, que entra por una fisura y lo oímos en todos lados; pero Venturi se pregunta si algo así ocurrirá con un chorro que, saliendo de BC, se expande sobre la superficie de un depósito de agua estancada. Realiza el ensayo, donde, hecho imprevisto, no se nota ninguna expansión súbita; más bien, en todos los costados del chorro aparecen agitaciones y remolinos: “entran en este caso –anota- circunstancias que transforman el resultado del principio de Newton en movimientos particulares. Sin embargo, es cierto que el chorro BC imprime su movimiento a las partes laterales N, K; pero no es que las empuje hacia O, L sino más bien las arrastra consigo hacia PQ”⁷⁵. Este transporte lo puede realizar un chorro de agua sobre partículas de aire, como ya había señalado Torricelli, o bien de agua, según el medio en el cual penetra. Un cuerpo pequeño y ligero, soltado en proximidad inmediata de un chorro que cae en la atmósfera, sigue al chorro en su movimiento; y cuando el chorro se hunde finalmente en un depósito, vemos aparecer en el agua estancada buena cantidad de aire, arrastrada por el chorro mismo⁷⁶.

Para comprobar este efecto cuando un chorro de agua descarga en agua, Venturi concibe el ensayo siguiente. Introduce el tubo cilíndrico horizontal AC que sale del orificio A en la caja DEFB, llena de agua hasta el nivel DB (fig. 45). A poca distancia del extremo C coloca el canalito inclinado SMBR, abierto en su parte superior SR, apoyándolo en B. Cuando el orificio descarga, el chorro sube por MB y sale por BV. Ahora, mientras esto sucede, en el interior de la caja DEFB nace una corriente que penetra al canal inclinado y se une al chorro, de modo que en pocos segundos el nivel del agua en la caja baja de DB a MH⁷⁷.

Estas son consecuencias de lo que Venturi llama la comunicación lateral del movimiento en los fluidos. “Newton –escribe- ha conocido esta comunicación y de ella ha deducido cómo, en un remolino, la rotación se propaga desde las capas internas a las externas. ¿Serán la viscosidad y la adherencia mutua de las partículas del fluido, o bien su acoplamiento y enlazamiento recíproco, o la desviación de las que están escurriendo, causa de esta comunicación lateral del movimiento?” Sin decidir cuál sea la causa, Venturi toma el hecho según está, lo acepta como principio y lo aplica al análisis de efectos específicos, como sería el incremento de gasto que se produce cuando el orificio está provisto de un tubo adicional⁷⁸.

Imágenes obtenidas de: ; http://www.todomotores.cl/competicion/carburacion_motor.htm ; http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-KANPUR/FLUID-MECHANICS/lecture-15/15-1a_mesure_flow_venturimeter.htm y http://www.todoautos.com.pe/f68/filtro-conico-y-venturi-737.html

Misión en París

Venturi se había granjeado la simpatía y confianza de los modenenses. Además de su cátedra, a la cual se agregó la de física experimental, recibió los nombramientos de asesor de la Casa de Moneda e ingeniero estatal, y esto lo llevó a realizaciones de hidráulica práctica. Como físico, se ocupó de óptica, acústica y electricidad natural. En la introducción a sus apuntes sobre esta última materia, hallamos explicada la diferencia entre la concepción de investigación científica de su tiempo, que era la del Iluminismo y que él compartía, y la anterior: “Ahora se piensa que el estudio de la naturaleza no se parece a canales que, saliendo de una toma común, se ramifican para regar los campos, sino más bien a arroyos que, recolectando en cada esquina diminutas gotas de lluvia, se hinchan poco a poco y se vuelven río. Se piensa que antes de razonar con base en los principios hay que afanarse en deducirlos, y esto no volando en tres brincos de unos pocos elementos a los axiomas más generales, sino elevándose con paciencia indecible sobre la pista de la observación y de la experiencia, doblando donde ella dobla, deteniéndose donde ella calla; hasta que poco a poco se vaya construyendo en edificio que la naturaleza no desdeñaría reconocer como suyo propio”⁶⁹.

En su tranquila vida de enseñanza, estudio e investigación, Venturi alcanza la edad de cincuenta años, cuando en 1796 el ejército francés, al mando de Napoleón, entra en el valle de Po. A mediados de abril los piemonteses son derrotados; a mediados de mayo los franceses están en Milán; en junio, sus casacas azules remplazan en Módena las blancas de los austriacos que abandonan la ciudad. ¿Quiere el duque Ércole Rinaldo un armisticio? Que se comprometa en desligarse totalmente de Austria y además desembolse diez millones de francos. El duque se desespera: ¿de dónde un estado minúsculo y necesitado como el suyo puede sacar esa suma astronómica? Que vea por favor el general Bonaparte si puede reducirla un poco, digamos a la mitad. Pero el susodicho general contesta que la cosa no depende de él; que él solo recibe órdenes del Directorio, y que si rebaja se quiere hay que gestionarla en París con esos señores. Ércole Rinaldo llama al conde de San Romano, su hermano natural, y le encarga ir como plenipotenciario a tratar el asunto; pero el conde necesita un buen secretario: un hombre inteligente, capaz y que domine perfectamente el francés. ¿Qué tal si te llevas al abad Venturi?” Venturi está encantado con la propuesta: por fin poder ir a París, el sueño de su vida. Allí podrá ver al astrónomo Lalande, a quien había escrito hacía muchos años para conseguir un ejemplar de toesa –la unidad de medida de longitud de entonces- verificada con el patrón de la Academia, y que se lo había remitido en 1783 con tanta atención. Seguramente Lalande lo presentaría a sus colegas y, ante todo, al abad Bossut, decano de los hidráulicos franceses, con quien discutiría los resultados de sus investigaciones.

Embajador y secretario llegan a París luego de un largo y pesado viaje en carroza, y se presentan al Directorio; pero las cosas se ponen difíciles desde el principio: ese Bonaparte no cumple con las instrucciones y no informa de lo que hace; hay que consultarlo. Pasan meses y nada se concluye; mientras tanto el buen Venturi recorre la ciudad, ve, observa, se informa. París 1796, ciudad asombrosa donde todo sabe a nuevo. Pasó el huracán barrió con todo: costumbres, instituciones, mitos, modos de pensar y actuar que el hábito hacía parecer normales, pero que ahora se ve cuán estúpidos e injustos eran. Es el momento donde todo se puede corregir y hasta rehacer; la gran oportunidad, que puede tardar mil años en presentarse de nuevo, para los que son y los que se sienten jóvenes. Todos quieren aprender, y los que saben, enseñar a los demás. A diario se ofrecen lecciones públicas gratuitas de física, historia natural, matemáticas, arquitectura; incluso se ven pegados en las paredes avisos que brindan a todo el que se interese, y también gratis, clases particulares sobre ciencias, filosofía, artesanías, música⁷⁹. Los profesores universitarios escriben y publican apuntes de sus clases. Lagrange ya no lamenta haberse mudado de Berlín a París, como cuando en los años malos se reprochaba golpeándose la cabeza: “tu l’as voulu” (tu lo quisiste); llamado a enseñar en la flamante Escuela Normal destinada a formar los miles de maestros que el país necesita, ofrece sus admirables clases de álgebra avanzada y cálculo, que los jóvenes siguen embelesados, aun cuando las encuentran demasiado abstrusas⁸⁰. El anciano Lalande comenta conmovido: “Nuestros jóvenes empiezan estudiando preferentemente las ciencias abstractas. En los cincuenta años que he estado enseñando aquí y observando el estado de la educación, nunca he visto a tantos estudiantes de matemáticas como hoy en día”⁸¹.

En Italia la situación se precipita: se descubre que el duque de Módena, en cuyas venas corre sangre habsbúrgica, ha faltado a su palabra, ayudando en secreto a los austriacos. El armisticio queda roto y el 8 de octubre el ducado se anexa a la República Traspadana, cuyo gobierno se apresura a suprimir cargos y suspender emolumentos a ese novel diplomático –criatura del duque- que se encuentra en París. Pero a Venturi ¿qué le importa?; él está feliz: libre y totalmente dueño de su tiempo, como un escolar en vacaciones, frecuenta a científicos, escribe memorias, asiste a cursos. Napoleón ha despojado a la Biblioteca Ambrosiana de Milán de toda su colección de escritos de Leonardo da Vinci, incluyendo el célebre Códice Atlántico, y los ha enviado a París. Un enorme interés se despierta en la capital francesa; pero ¿quién los entiende, con ese italiano anticuado, abreviado y escrito al revés en que están redactados’ Para Venturi es una oportunidad fabulosa poder hojear esas páginas invaluables: ofrece estudiar lo que en ellas haya de interés para las ciencias físicas y matemáticas; se encierra con los códices, trabaja día y noche, publica un ensayo donde aparecen la traducción de los trozos interesantes y su análisis.

Logra, como era su anhelo, conocer al antes abad, ahora “ciudadano”, Charles Bossut, hombre alegre y afable de 66 años de edad, renombrado autor del más conocido manual de hidráulica de la época, “Traité élémentaire d’ hydrodynamique” (Tratado elemental de hidrodinámica), manual que se había publicado en 1771, con tanto éxito que ya habían salido dos ediciones más. El subtítulo del libro es el siguiente: “obra en la cual la teoría y la experiencia se esclarecen y suplen mutuamente”; y en efecto, su segundo tomo contiene una descripción detallada de muchos experimentos realizados por el autor en la escuela de ingenieros militares que antes de la revolución se hallaba en Mecieres, cerca de la frontera de Francia con lo que hoy es Bélgica, entonces parte del imperio Austriaco. Se trata de experimentos con orificios, tuberías de diferentes diámetros y longitudes, y canales de laboratorio; experimentos de los cuales se ofrece una descripción ordenada y cuidadosa, seguida por “reflexiones” donde el autor intenta justificar de manera razonada los resultados.

Sin embargo, a diferencia de Venturi, cuya actitud hacia la teoría bien conocemos, Bossut, que se precia de ser ante todo matemático, pregona que primero viene la teoría y luego el experimento, nunca viceversa; y esto lo lleva a veces a explicaciones complicadas y controvertidas. Por ejemplo, luego de haber descrito sus ensayos sobre el desagüe de un orificio de fondo, utilizando un dibujo muy semejante al de Daniel Bernoulli (fig. 38) {ver El enigma de la columna doble} que muestra en el tanque trayectorias verticales a partir de la superficie, comenta: “La tendencia universal de las partículas fluidas hacia el orificio es consecuencia necesaria de su perfecta movilidad… A las partículas que salen les siguen otras que las remplazan paso a paso. Pero se concibe que tal reemplazo no puede realizarse en un instante indivisible. Así, hablando con rigor geométrico, a partir del primer instante del escurrimiento, debe de formarse en alguna parte de la superficie un pequeño hundimiento hacia el cual las partículas circundantes tienen una tendencia algo a aquella que un cuerpo colocado sobre un plano inclinado posee para bajar, por pequeña que sea la inclinación de dicho plano… En los escurrimientos a través de orificios horizontales, la presión del aire tiende a ensanchar el hundimiento. En efecto, la atmósfera oprime con su peso la superficie del agua. La columna vertical de aire que corresponde al orificio se introduce en el pequeño hundimiento o embudo que se forma en el mismo lugar. Esta columna sería equilibrada por el esfuerzo contrario de la columna de aire ubicada por debajo del orificio si esta desarrollara libremente toda su acción; pero, como el agua al caer rechaza el aire y destruye una pequeña parte de su reacción, la primera columna debe aventajar un poco la segunda. De donde se desprende que, si las partículas que acuden de todos lados hacia el orificio para alimentar el escurrimiento no poseen velocidad suficiente para impedir el efecto de esta desigualdad de presión sobre las dos columnas de las cuales se acaba de hablar, el embudo se ensanchará…”⁸² Mucho enredo para no aclarar nada: embudo, plano inclinado, diferencia de presión. De hecho, Bossut mezcla dos fenómenos distintos porque, como todos comprobamos al vaciar el lavamanos, el desagüe puede producirse bajo dos circunstancias mutuamente excluyentes: ya sea avanzando las partículas fluidas directamente hacia el orificio, o bien, especialmente cuando los tirantes son bajos, con la formación de un vórtice por encima del orificio mismo; y solo en este último caso aparece, por efecto centrífugo, el hundimiento en forma de embudo a que Bossut hace referencia, y puede crearse una depresión central importante.

La revolución ha suprimido buena parte de las instituciones monárquicas; entre ellas, La Real Academia de Ciencias, que ha remplazado por el Instituto Nacional, dividido en tres clases. La primera, físico-matemática, se divide en diez secciones, cada una con seis miembros. Bossut, que pertenece, con Lagrange, Laplace, Borda, Legendre y Delambre, a la de los matemáticos, lleva a Venturi a presenciar algunas asambleas. Estas llamaban la atención de los visitantes extranjeros por su animación: “la sesión no posee la calma que caracteriza nuestras reuniones académicas al otro lado del Rín –comentaba un alemán-, en las cuales un miembro generalmente lee una disertación mientras sus colegas hojean libros, leen trabajos o chismean entre sí”83. “En su manera de debatir –observa un danés- el Instituto se parece a las sociedades inglesas: todo individuo que quiera hablar pide la venia del presidente, al cual dirige su discurso, y todo individuo habla siguiendo el orden que si inclinación le sugiere. Así esos debates se llevan con orden, decoro y respeto mutuo”⁸⁴. Sin embargo, en determinadas ocasiones, agregaba el alemán, “se hacen comentarios agudos, vivaces y hasta mordaces”⁸³.

Con los académicos, Venturi habla de sus experimentos y de sus principios; lo instan para que presente una memoria al respecto, y él redacta el trabajo “Recherches expérimentales sur le principe de la comunication latérale du mouvement dans les fluides” (Investigaciones experimentales sobre el principio de la comunicación lateral del movimiento en los fluidos). Según las normas del Instituto, hay que nombrar un comité revisor; y se designan, además de Bossut, a Coulomb y Prony. Charles Agustin Coulomb (60 años), que había trabajado mucho tiempo como ingeniero hidráulico, era un acreditado miembro de la sección de física experimental; Gaspard Riche de Prony (41 años), miembro de la de mecánica, era la sensación del momento. Tomas Bugge, astrónomo danés enviado en 1798 a París para participar como representante de su país en la comisión encargada de establecer el sistema métrico decimal, fue a la Escuela Politécnica para oírlo y nos dejó esta nota: “Escuche las clases de Prony sobre hidráulica, particularmente acerca del movimiento de fluidos por tuberías y de las ondas. Este hombre extraordinario ofrece la presentación más impresionante y cautivadora que se pueda imaginar. En el curso del año pasado imprimió sus clases en un libro, con teoremas y problemas relacionados con los temas tratados y un esquema o bosquejo de las clases mismas. En el año VII, Prony inició un curso en el cual se proponía demostrar las teorías hidráulicas en general. Yo oí algunas de sus clases, que eran excelentes; aunque me temo que pocos de sus oyentes (cerca de veinte en total) serán capaces de seguirlo”⁸⁵.

Bossut, Coulomb y Prony se reúnen, consideran la memoria de Venturi y redactan un informe que concluye: “Pensamos… que la clase (física-matemática), encomiando los trabajos del ciudadano Venturi, debe comprometerlo a publicarlos, en cuanto pueden servir al progreso de la hidráulica. Redactado en el Instituto Nacional el 21 de fructidor, año V de la República”⁸⁶. Y efectivamente en el año VI, es decir 1797, la memoria se imprime en París.

Las victorias francesas en Italia han aplastado a los austriacos, y estos piden la paz, que se sanciona en octubre del mismo año de 1796, con el tratado de Campoformio. Venturi pide a Lalande y al químico Fourcroy, miembros en ese momento de una comisión que estudia la reorganización de la enseñanza en Francia, sendas cartas de recomendación para Bonaparte. “Luego de un año transcurrido entre nosotros –escribe Fourcroy- {Venturi} ha dejado el más alto concepto de sus talentos y de su celo para el progreso de la cultura”. Confiado en poder así recuperar su buena y pacífica cátedra en Módena, nuestro hombre viaja a Milán⁶⁹.

Imágenes obtenidas de: http://panizzi.comune.re.it/news/2001/IMAGE/VenturiP.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Venturifixed2.PNG , http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Bossut y http://es.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony

Diplomacia y sabiduría

“El hombre propone y Dios dispone” comenta filosóficamente Venturi. Mejor hubiera dicho: Napoleón dispone; porque, llegado a Milán y conseguida la audiencia con el general, este lee las cartas de sus colegas –ya que también él era miembro del Instituto, sección de mecánica- y, sin dejarle la mínima oportunidad de manifestar sus deseos, lo nombra sin más trámites miembro del Cuerpo Legislativo de la recién constituida República Cisalpina. El 5 de diciembre Bonaparte regresa a París. La Cisalpina, comprometida en proporcionar soldados para su ejercito, decide abrir una escuela militar; y ¿cuál edificio podría ser mejor que el inmenso palacio de Módena, abandonado por el duque prófugo? Se buscan maestros, y Venturi se ofrece; de modo que en verano de 1798 deja el Cuerpo Legislativo y regresa a esa ciudad, como profesor de física y química. ¿Tranquilo, por fin? Uds juzgarán. Mientras Bonaparte está en Egipto, en Italia la lucha recomienza, y a principios de 1799 los austriacos vuelven a ocupar Módena; allí encuentran a ese traidor de Venturi sumido en sus estudios y lo encierran en la torre de Carpi. En junio regresan los franceses y abren la puerta: Venturi sale, pero se cuida de no volver a Módena; va a Parma, que está algo lejos de la frontera, y de allí remite a la regencia austríaca documentos que comprueban su “conducta moral y moderada”. La regencia lo indulta, lo que le permite regresar a Módena. Pero en mayo de 1800 Bonaparte está de vuelta; 14 de julio, batalla de Marengo: con los austriacos en plena derrota, Napoleón entra triunfante a Milán y otorga a Venturi una cátedra en la universidad de Pavía.

Sin embargo, la carrera del profesor se ha acabado: el puesto resulta puramente nominal, ya que a un mismo tiempo lo envían en misión diplomática a Turín. Venturi ya se ha vuelto un experto: “Para descubrir mejor los secretos del gobierno empecé cortejando a madama Rosina Vinay, en cuya casa se reunían varios de los gobernantes” escribe69. Pero seguramente aprovecha también su estadía para entrar en contacto con los miembros de la Academia de Ciencias locales, heredera de la Sociedad Científica fundada allá en 1757 por Lagrange y sus amigos, y para ofrecer pláticas que debieron de tener influencia en la vocación de un estudiante de 19 años, Giorgio Bidone, quien será luego profesor en la universidad.

Curiosamente, para conocer la personalidad de Bidone, debemos acudir a los escritos de uno que fue pintor, literato, político distinguido, todo menos hombre de ciencia: Mássimo d’Azeglio. De familia noble piemontesa, Massimo había pasado su adolescencia en Florencia, donde los suyos habían emigrado cuando el rey tuvo que abandonar Turín por la ocupación francesa. Al regresar este en 1814, también regresan los d’Azeglio y consiguen que el hijo, aun poco idóneo para los estudios, ingrese en la Universidad. Pero en aritmética, álgebra y geometría, así como física, Massimo es un desastre; y al padre se le ocurre confiarlo justamente a los cuidados de Bidone. Massimo tiene 15 años; Bidone, de 32, se empeña en enseñarle los más elementales rudimentos de la ciencia, sin ningún resultado: “El cielo no me había dado facultades para los números” confiesa cándidamente el alumno. Más Bidone sí logra plasmar algo en él. “A pesar de esta inercia de mi cerebro y del escaso fruto que mi maestro obtenía de sus cuidados, él me había dispensado muchísimo cariño. El mayor provecho yo lo sacaba de su conversación, más que de las enseñanzas científicas;… aprendía poco a poco a pensar, reflexionar, desechar ideas falsas y elaborar otras exactas… Desde entonces empecé a acostumbrarme a valorar a los hombres con base en su honradez e instrucción, y a las cosas en la medida de su verdadera utilidad”⁸⁷.

Pasan dos años, Massimo, que definitivamente no sirve para los estudios, se destina a la carrera de oficial de caballería. Entra al cuartel, pero se vuelve un calavera; y he allí a su mamá, la pobre marquesa Cristina, que va sola, cubierta por un velo para que la gente no la reconozca, “a golpear a la puerta del amigo profesor Bidone para desahogarse acerca de mí, buscar consuelo y consejos, y a veces para devolverle alguna pequeña suma que él me venía prestando en alguna necesidad que yo tenía… El excelente Bidone intentaba serenar a mi madre, le hablaba bien de mí, la esperanzaba, así que ella salía de su casa más animada. Por otro lado, él me había rodeado de un verdadero sitio, no a fuerza de predicas y porfías, sino con el talento y la experiencia del mundo que él tenía… Por un lado, yo lo rehuía…; por otro, me sentía a pesar mío dominado por su bella y serena inteligencia, por esa cordial honradez que trasparentaba de sus ojos y que excluía toda duda acerca de la sinceridad de sus opiniones y de sus atenciones… A veces, arrastrado por malos compañeros, yo desaparecía y durante algún tiempo el pobre Bidone me esperaba en vano. Luego, atraído por una fascinación que combatía inútilmente, volvía a golpear a pesar mío a la puerta del amigo. Entraba en esa pequeña morada aseada y al mismo tiempo sencilla y severa; además exacta y ordenada justamente como una página de cálculo. Nunca he visto una casa que fuese un retrato más fiel de quien en ella vivía…”

“Recuerdo ahora con verdadera y tierna gratitud los apuros de ese amigo excelente por hacer de mí alguien. Estudioso por naturaleza, y además ocupado en los empeños de la cátedra, hallaba el tiempo de buscarme, acecharme, encontrarme, acompañarme en largos paseos, para tener la oportunidad de hablarme difusamente y de meter en mi cabeza ideas buenas y rectas, bajo cien formas distintas…88 De ciencias exactas, era inútil platicar: lo sabía el pobre Bidone que, al enseñarme matemáticas, no había logrado hacerme diestro en las cuatro operaciones de la aritmética. Quedaba todo el resto de los conocimientos; y cuando yo le preguntaba: ‘¿Qué debo hacer?’, él me contestaba sonriendo: ‘¿Actúe?’”⁸⁹.

Fuertes eran, por cierto, los “empeños de la cátedra” de Bidone. Porque, además de profesor, era un incansable investigador de fenómenos hidráulicos, que analizaba en el laboratorio con suma paciencia y dedicación: remansos, propagación de ondas en canales, y, por supuesto, también chorros.

Imágenes obtenidas de: http://www.torinoscienza.it/accademia/personaggi/apri?obj_id=423 , http://www.pueblos20.net/italia/ruta.php?id=5387 ; http://eicunsa.iespana.es/publicacion/SALTO%20HIDRAULICO2008.pdf y http://mecanicafluidos7mo.blogspot.com/2008/04/flujo-en-canales-abiertos.html

La deformación del chorro

Al tratar en sus Recherches expérimentales {ver Misión en París} el tema del chorro, Venturi concluye, con base en los resultados de Boussut, Michelotti y Poleni, que “ya no se puede poner en duda que: 1º, la concentración de la vena es poco más o menos 0.64 del orificio; y 2ª, la velocidad de la vena contraída es casi la misma que la de un cuerpo grave que caiga de una altura equivalente a la carga”. Todo esto naturalmente vale “siempre que el orificio sea muy pequeño en comparación con la sección del tanque, que esté practicado en una pared delgada y que los filamentos fluidos afluyan de todas partes hacia el orificio mismo”. ¿Y si el orificio por su forma no permitiera esa afluencia uniforme? Con el objeto de contestar esta pregunta, se había utilizado en el laboratorio de Módena una fisura ACBD (fig. 46), practicada en una pared delgada vertical. Sus lados –A, B- eran horizontales y las extremidades –C, D- redondeadas; la razón de la altura a la longitud del orificio era aproximadamente 1:20. Se descubrió que en tales condiciones el chorro se deforma de manera insospechada: a poca distancia de la fisura, la sección se encoge adquiriendo la forma EF, sin perder su figura alargada; algo más lejos, se contrae en la roseta simétrica GH, y finalmente se expande en el gran abanico KMLN, orientado en dirección perpendicular al orificio. El experimento se había repetido con una fisura colocada normalmente a su orientación anterior, o sea con los lados largos verticales, y se había vuelto a encontrar la misma configuración, solo que ahora EF era vertical y KMNL horizontal.

Comenta Venturi: “los filamentos fluidos que, saliendo del orificio, rozan los dos bordes opuestos A, B, son muy cercanos entre sí; siendo convergentes, tienden a reunirse a muy poca distancia del orificio mismo. Los filamentos C, D están más separados y tal vez converjan menos; tienen, por tanto que reunirse a una distancia mayor que los anteriores. Tenemos aquí que vérnosla con dos contracciones, una más próxima y la otra más alejada del orificio. Estas dos contracciones se equilibran parcialmente, y su oposición mutua hace que el efecto GH se aleje a una distancia cinco veces mayor que la de la vena contraída de un orificio circular que tenga diámetro igual al largo de la fisura. En esta experiencia vemos la causa de un fenómeno que había sido observado, en casos particulares, por Poleni y otros, sin ofrecer su explicación: en todo orificio de figura rectilínea en pared delgada, los ángulos de la vena contraída corresponden a los lados del orificio, y recíprocamente”. En efecto, la roseta GH presenta sus cantos allí donde la fisura ACBD tiene sus lados; sus concavidades, donde aquella tiene sus esquinas⁹⁰.

Como comprobación, Venturi agrega dos experimentos (fig. 47). Primero utiliza el orificio cuadrado MNPO. En tal caso observa que la máxima contracción de la vena, que se produce más lejos de la abertura que cuando el orificio es redondo, tiene la forma QTSR, verificándose aquí también la sustitución de lados por ángulos. La causa de esta mutación sería, según Venturi, que los ángulos opuestos MP, están más separados entre sí que los lados MN, OP, repitiéndose el fenómeno que ocurrió con el chorro de la fig. 46. Igualmente, si el orificio tiene la forma del triángulo equilátero X, la sección contraída del chorro será como Z. Finalmente, para la fisura de la fig. 46, se comprueba que la sección contraída GH se aleja tanto más de la fisura cuanto mayor es la carga sobre la fisura misma.

Bidone se interesa en el mismo problema de la deformación del chorro unas tres décadas después de Venturi, y realiza observaciones más precisas. Por ejemplo, la fig. 48 muestra cómo en el caso A de sección elíptica, con el eje mayor horizontal de 24 líneas y el menor vertical de 17 líneas, los rasgos del orificio se van exagerando en el chorro, pero invirtiéndose. La carga de agua es de 6 pies de París (1 pie=0.348 m). La sección B, donde el chorro se deforma en un círculo de unas 17 líneas de diámetro, está a 30 líneas de distancia del orificio. Más allá de ese punto, el eje vertical de la sección crece y el horizonte decrece, como dan fe las secciones C, a 6 pulgadas de distancia, y D, a 24 pulgadas. La fig. 49 corresponde al chorro que sale de un orificio A en triángulo equilátero, como el X de la fig. 47. El orificio A tiene lados de dos pulgadas y trabaja bajo una carga de agua de 6 pies; las secciones B, C, D y E están tomadas a distancias del orificio mismo de 1, 6, 12 y 24 pulgadas, respectivamente. La sección C corresponde a la Z de Venturi; pero revela la forma real, que los lados curvos de Z apenas sugieren. Bidone descubre que el chorro se abre en estrella, con tres brazos normales a los lados del orificio, brazos formados por láminas de agua sumamente delgadas, que en el ensayo conservan su transparencia y continuidad hasta una distancia de 42 pulgadas del orificio mismo. Repite luego el ensayo con orificios en forma cuadrada, pentágono, hexágono, comprobando en cada caso la formación de una estrella análoga, con sus lados también dispuestos perpendicularmente a los del orificio⁹¹.

La explicación que da Bidone sugiere para el fenómeno se parece a la de Venturi. Supongamos, dice él, que se tienen dos chorros de igual velocidad, dirigidos según una misma recta, pero en sentido opuesto: chocan y se aplastan en un disco ubicado en un plano perpendicular a la recta misma. Supóngase ahora que los ejes de los chorros se cortan oblicuamente: también en este caso se formará una lámina, ubicada en el plano perpendicular al de los ejes y orientada según la bisectriz del ángulo que ellos forman. Ahora bien, el orificio triangular da lugar a la formación de tres chorros, provenientes de los tres ángulos, y las láminas producidas por un choque tendrán justamente las posiciones y orientaciones que muestra la fig. 49⁹².

En muchos casos, especialmente cuando el orificio es pequeño y la carga baja, la extensión creciente de los brazos de la estrella alcanza un límite (sección C de la fig. 50 a); luego, la estrella vuelve a cerrarse (tramo cd) hasta que reaparece una sección compacta (tramo de) semejante al tramo ab que sigue a la primera contracción en a. Pasado el punto e, si el chorro mantiene coherencia, vuelve a formarse una estrella en el tramo ef, pero ahora sus brazos estarán orientados según las bisectrices de los tramos bd, o sea paralelamente a los lados del orificio. Esta estrella a su vez puede alcanzar un ancho máximo, volver a contraerse y así sucesivamente. El efecto es estacionario y se repite periódicamente en tramos (como bd y eg de la fig. 50 a) de igual “longitud de onda”. Mediciones con orificios de diferentes formas, llevadas a cabo medio siglo después por Lord Rayleigh, revelaron que esta longitud varía en proporción directa con la raíz cuadrada de la altura de agua sobre el orificio, y por tanto, también en proporción directa con la velocidad de salida⁹³.

Quedaba una pregunta interesante: ¿a qué se deben las sucesivas pulsaciones del chorro? Un profesor francés, Felix Savart, logro contestarla. Experimentador sumamente hábil, a pesar de tener su laboratorio en París donde los movimientos y ruidos de la ciudad crean en el aire perturbaciones incesantes, fue capaz de aislar perfectamente un chorro circular en caída vertical. Resultó una vena, como muestra la figura 50 b, donde el tramo cilíndrico ab se prolonga notablemente y luego da lugar a una expansión continua. Esto permitió concluir que las pulsaciones se deben a excitaciones sónicas externas, hecho que Savart comunicó en un trabajo de 1833. Pero halló algo más. Observó que en los dos casos ilustrados en la fig. 50 siempre el tramo ab aparece transparente y quieto, como si fuera una varilla de vidrio; por el contrario, la parte que sigue se ve turbia y perturbada. Intentando explicar este hecho, se le ocurrió cruzar rápidamente con el dedo la vena en su parte inferior, y he aquí la sorpresa: a veces el dedo no se mojaba; luego el chorro era discontinuo. Si después de haber elevado la vista al tramo ab, uno la baja bruscamente, recorriendo la vena con la velocidad de caída del agua, súbitamente ve a esta descomponerse, como lo muestra la fig. 51, en una sucesión de gotas aisladas. La aparente continuidad de la vena resulta de la retención en la retina de la imagen de estas gotas que van cayendo: si las gotas se suceden a intervalos de un décimo de segundo o menos, antes que la imagen dejada por una de ellas se desvanezca, la renueva la gota siguiente, y todo se ve continuo. Hoy basta con sacar una foto instantánea del chorro para revelar su discontinuidad.

El descubrimiento de Savart le permitió también explicar la naturaleza de las pulsaciones del chorro. Se dio cuenta de que la gota, a medida que baja cambia continuamente su forma: cuando se separa del extremo de la porción cristalina, punto b, la gota se conforma por su peso en esferoide con eje mayor vertical. Pero una gota no puede conservar esa figura, debido a la tensión superficial, que tiende a darle forma esférica. El esferoide encoje pues su eje vertical y ensancha el horizontal para volverse una esfera; mas, como un péndulo que no puede detenerse en su posición de reposo, la contracción del eje vertical se excede y la gota se hace nuevamente esferoidal, pero ahora más ancha que alta. Las que vemos como contracciones son esas partes donde el eje mayor de la gota es vertical; las expansiones son aquellas donde es horizontal. Finalmente, entre cada par de gotas sucesivas aparece una gotita más menuda; y esto porque, luego de separarse una gota grande de la columna superior, por una especie de contragolpe de la vena que se retira, se forma tras ella, como un pequeño satélite, la gotita intermedia⁹⁴.

Dejemos el estudio de los chorros, a reserva de volver a considerarlos más adelante, en estos hallazgos, particularmente notables si se piensa en los pobres medios de visualización de que se disponía hace siglo y medio; lo cual nos infunde una sincera admiración hacia individuos como Bidone y Savart, quienes en tales condiciones lograron observar todos los detalles que hemos descrito. Además, son de lo poco nuevo que se pudo agregar a esta materia; caso de los más singulares en la historia de la investigación científica, ya que, a pesar de disponer desde el comienzo del resultado más importante: el principio de Torricelli, se continuó durante más de un siglo con hipótesis, análisis, verificaciones, discusiones y controversias que poco pudieron perfeccionar dicha materia, aun habiéndole dedicado mucho tiempo y esfuerzos la mayoría de los hidromecánicos de la época incluyendo a los más grandes y de mayor renombre.

Imágenes obtenidas de: http://platea.pntic.mec.es/pmarti1/educacion/fisica_2_bach/biografias/electromagnetismo/savart.htm y www.flickr.com/photos/eliasgomis/